Question

lim ³√(3x+5) -2/(x²-1) quando x --> 1; não consegui resolver usando produtos notáveis para diferença de cubos.

Answer 1

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Calcular o limite

     $L=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{^3\!\!\!\sqrt{3x+5}-2}{x^2-1}$


Faça uma mudança de variável:

     $^3\!\!\!\sqrt{3x+5}=u\\\\ 3x+5=u^3\\\\ 3x=u^3-5\\\\ x=\dfrac{u^3-5}{3}$


Quando  $x\to 1$,

     $u\to \,^3\!\!\!\sqrt{3\cdot 1+5}\\\\ u\to \,^3\!\!\!\sqrt{3+5}\\\\ u\to \,^3\!\!\!\sqrt{8}\\\\ u\to 2$


de modo que o limite fica

     $L=\displaystyle\lim_{u\to 2}\dfrac{u-2}{\left(\frac{u^3-5}{3}\right)^{\!2}-1}\\\\\\ =\lim_{u\to 2}\dfrac{u-2}{\frac{(u^3-5)^2}{9}-1}$


Multiplique o numerador e o denominador por  9  para simplificar:

     $=\displaystyle\lim_{u\to 2}\dfrac{(u-2)\cdot 9}{\left[\frac{(u^3-5)^2}{9}-1\right]\cdot 9}\\\\\\ =\lim_{u\to 2}\dfrac{(u-2)\cdot 9}{(u^3-5)^2-9}\\\\\\ =\lim_{u\to 2}\dfrac{(u-2)\cdot 9}{(u^3-5)^2-3^2}$


Fatore a diferença de quadrados que aparece no denominador (produtos notáveis):

      •  p² – q² = (p – q) · (p + q)


onde  p = u³ – 5  e  q = 3.  Então, o limite fica

     $=\displaystyle\lim_{u\to 2}\dfrac{(u-2)\cdot 9}{\big[(u^3-5)-3\big]\cdot \big[(u^3-5)+3\big]}\\\\\\ =\lim_{u\to 2}\dfrac{(u-2)\cdot 9}{(u^3-8)\cdot (u^3-2)}\\\\\\ =\lim_{u\to 2}\dfrac{(u-2)\cdot 9}{(u^3-2^3)\cdot (u^3-2)}$


Fatore a diferença entre dois cubos que aparece no denominador (produtos notáveis):

     •   p³ – q³ = (p – q) · (p² + pq + q²)


onde  p = u  e  q = 2.  Dessa forma, o limite fica

     $=\displaystyle\lim_{u\to 2}\dfrac{(u-2)\cdot 9}{(u-2)\cdot (u^2+u\cdot 2+2^2)\cdot (u^3-2)}\\\\\\ =\lim_{u\to 2}\dfrac{(u-2)\cdot 9}{(u-2)\cdot (u^2+2u+4)\cdot (u^3-2)}$


Simplifique o fator comum  (u – 2)  que aparece no numerador e no denominador:

     $=\lim\limits_{u\to 2}\dfrac{9}{(u^2+2u+4)\cdot (u^3-2)}\\\\\\ =\dfrac{9}{(2^2+2\cdot 2+4)\cdot (2^3-2)}\\\\\\ =\dfrac{9}{(4+4+4)\cdot (8-2)}\\\\\\ =\dfrac{9}{12\cdot 6}\\\\\\ =\dfrac{9}{72}\begin{array}{c}^{\div{9}}\\^{\div{9}} \end{array}$

     $=\dfrac{1}{8}$   <———   esta é a resposta.


Bons estudos! :-)