Question

lim (2x²+5x-3)/(2x²-5x+2) 
x-> 1/2  Por favor explique da forma mais simples possível indeterminação do limite não é meu forte.

Answer 1

i) O que a gente tem que fazer inicialmente é descobrir as raízes de cada um dos polinômios do numerador e denominador e fatorá-los:

I) 2x² + 5x - 3 = 0

Δ = 5² - 4.2.(-3) => Δ = 25+24 => Δ = 49

$x=\frac{-5\pm\sqrt\Delta}{2.2}\Rightarrow x=\frac{-5\pm7}{4}\\ \\ \boxed{x=-3 \ \mathrm{ou} \ x=\frac12}$

Portanto 2x² + 5x - 3 = (x+3)(2x-1)

II) 2x² - 5x + 2

Δ = (-5)² - 4.2.2 => Δ = 25-16 => Δ = 9

$x=\frac{5\pm\sqrt\Delta}{2.2}\Rightarrow x=\frac{5\pm3}{4}\\ \\ \boxed{x=2 \ \mathrm{ou} \ x=\frac12}$

Daí 2x² - 5x + 2 = (x-2)(2x-1)

ii) Agora que os polinômios foram fatorados podemos substituir essas fatorações no limite, afim de eliminar a indeterminação:

$\lim\limits_{x\to\frac12}\frac{2x^2+5x-3}{2x^2-5x+2}=\lim\limits_{x\to\frac12}\frac{(x+3)(2x-1)}{(x-2)(2x-1)}\\ \\ \lim\limits_{x\to\frac12}\frac{2x^2+5x-3}{2x^2-5x+2}=\lim\limits_{x\to\frac12}\frac{x+3}{x-2}\\ \\ \lim\limits_{x\to\frac12}\frac{2x^2+5x-3}{2x^2-5x+2}= \frac{\frac12+3}{\frac12-2}=\frac{\frac72}{\frac{-3}{2}}\\ \\ \boxed{\boxed{\lim\limits_{x\to\frac12}\frac{2x^2+5x-3}{2x^2-5x+2}=-\frac{7}{3}}}$

Answer 2

O limite desa função quando x tende a 1/2 é -3/7.

Para calcular o limite de uma função, substituímos o valor na variável e calculamos o valor da função:

 lim (2x²+5x-3)/(2x²-5x+2)  = (2.(1/2)² + 5(1/2) - 3)/(2.(1/2)² - 5(1/2) + 2) = 0/0

x → 1/2

Como encontramos uma indeterminação do tipo 0/0, podemos aplicar a regra de L'Hôpital, onde derivamos o numerador e denominador, e em seguida aplicamos o limite novamente:

 lim   (4x+5)/(4x-5) = (4.(1/2) + 5)/(4.(1/2) - 5) = (2 + 5)/(2 - 5) = 7/(-3) = -3/7

x → 1/2

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