Question

lim 2.t^2~-3.t-5 t->5/2 _________ 2.t-5

Answer 1

Rapaz, foi um pouco difícil decifrar o enunciado, mas vamos lá.

• Temos os seguinte limite:

$\sf \lim_{t\rightarrow \frac{5}{2} } \frac{2t {}^{2} - 3t - 5}{2t - 5}$

Quando temos uma questão de limites, a primeira coisa que devemos fazer é substituir o valor a qual o a incógnita tende, no caso, o valor a qual o "t" tende.

$\sf \frac{2t {}^{2} - 3t - 5 }{2t - 5} = \frac{2.( \frac{5}{2}) {}^{2} - 3.( \frac{5}{2}) - 5 }{2.( \frac{5}{2} ) - 5 } = \\ \\ \sf \frac{2.( \frac{25}{4}) - \frac{15}{2} - 5 }{ \frac{10}{2} - 5} = \frac{ \frac{50}{4} - \frac{15}{2} - 5}{5 - 5} = \frac{ \frac{50.2 - 15.4}{4.2} - 5 }{0} = \\ \\ \sf \frac{ \frac{100 - 60 }{8} - 5}{0} = \frac{ \frac{40}{8} - 5}{0} = \frac{5 - 5}{0} = \boxed{ \sf \frac{0}{0} }$

• Veja que surgiu uma indeterminação do tipo 0/0, ou seja, teremos que fazer alguma manipulação algébrica para que esse indeterminação possa sumir.

• Primeiro vamos fatorar a expressão do numerador através da fatoração por agrupamento.

$\sf 2t {}^{2} - 3t - 5$

O número (-3) pode ser escrito como (2 -5), portanto vamos reescrever essa nova expressão no local de -3.

$\sf 2t {}^{2} + (2 - 5)t - 5$

Aplicando a distributividade:

$\sf 2t {}^{2} + 2.t - 5t - 5$

Colocando em evidência os termos que podemos fatorar:

$\sf 2t.(t + 1) - 5.(t + 1) \\ \sf (2t - 5).(t + 1)$

Chegamos a fatoração máxima, então vamos substituir essa expressão no local de 2t² - 3t - 5.

$\sf \frac{ \cancel{(2t - 5)}.(t + 1)}{ \cancel{2t - 5}} = (t + 1)$

Pronto, certamente sumimos com a indeterminação, então podemos substituir novamente o valor a qual o "t" tende e encontrar o valor qual esse limite de aproxima.

$\sf ( t+ 1) = \frac{5}{2} + 1 = \frac{5.1 + 2.1}{2} = \frac{5 + 2}{2} = \frac{7}{2} = \boxed{\sf 6}$

Portanto temos que:

$\boxed{\sf\lim_{x \rightarrow \frac{5}{2}} \frac{2t^{2}-3t-5}{2t-5} = \frac{7}{2}}$

Espero ter ajudado