Question

lim         1²+2²+3²+...+n²
n→∞      ___________
                       n³

Answer 1

Sabendo que:
(n+1)³ - n³ = (n³ + 3n² + 3n + 1) - n³ = 3n² + 3n + 1
Assim:
∑[(p+1)³ - p³] = ∑[3p² + 3p + 1]
Mas:
∑[(p+1)³ - p³] = (2³ - 1³) + (3³ - 2³) + ... + [(n+1)³ - n³]
Perceba que o primeiro termo de cada parênteses é cancelado com o segundo do parênteses seguinte, sobrando apenas:
(n+1)³ - 1³
Então:
(n+1)³ - 1 = ∑[3p² + 3p + 1]
Mas:
∑[3p² + 3p + 1] = ∑3p² + ∑3p + ∑1 = 3*∑p² + 3*∑p + (1+1+1+1+1+...+1)
∑p = 1 + 2 + 3 + 4 + .. + n  -> (PA)
∑p = (1+n)*(n/2)
Temos também que:

∑1 = n
Assim:
(n+1)³ - 1 = ∑[3p² + 3p + 1]
(n+1)³ - 1 = 3*∑p² + 3*(1+n)*(n/2) + n

n³ + 3n² + 3n = 3*∑p² + 3n/2 + 3n²/2 + n
3*∑p² = n³ + 3n²/2 + n/2
∑p² = (1/6)*[2n³ + 3n² + n] = (1/6)*n*(n+1)*(2n+1)