Question

Lim√1-2x-x² + 1/x
x→0

Answer 1

Resolver o limite:

         $\large\begin{array}{l} \mathsf{\underset{\qquad x\to 0}{\ell im}~\dfrac{\sqrt{1-2x-x^{2}}-1}{x}}\end{array}$


Racionalizando o numerador

     $\begin{array}{l} \mathsf{\underset{\qquad x\to 0}{=\ell im}~\dfrac{\sqrt{1-2x-x^{2}}-1}{x}\cdot \dfrac{\sqrt{1-2x-x^{2}}+1}{\sqrt{1-2x-x^{2}}+1}}\end{array}$


Colocando o "x" em evidência e simplificando

     $\begin{array}{l} \mathsf{\underset{\quad\qquad x\to 0}{=\ell im}~\dfrac{1-2x-x^{2}-1}{x\cdot (\sqrt{1-2x-x^{2}}+1)}}}\end{array}$

     $\begin{array}{l} \mathsf{\underset{\quad\qquad x\to 0\ }{=\ell im}~\dfrac{\diagup\!\!\!x\cdot (-2-x)}{\diagup\!\!\!x\cdot (\sqrt{1-2x-x^{2}}+1)}}}\end{array}$


Por fim resolvendo

     $\mathsf{=\dfrac{-2-0}{\sqrt{1-2\cdot 0-0^{2}}+1}}}$

     $\mathsf{=\dfrac{-2}{2}}$

     $\mathsf{=-1}$


Bons estudos! :)

Answer 2

Resposta:

-4/2 = -2

Explicação passo-a-passo:

Ao substituir o zero nesse limite, vemos que ele é da forma zero sobre zero.

(raiz(1-2*0-0^2)-(0+1))/0 = (raiz(1)-1)/0 = 0/0

Assim, podemos aplicar a regra de l'hospital, onde temos:

seja f(x) = raiz(1-2x-x^2) - x-1 e g(x) = x

f'(x) = (-2-2x)/(2raiz(1 - 2x-x^2)) - 1 e g'(x) = 1

lim x -> 0  ((-1-x)/raiz(1-2x-x^2) - 1)/1 = -1/1 - 1 = -2

 

Também podemos fazer da seguinte forma:

Multiplicador o numerador e denominador por  

raiz(1-2x-x^2) + x + 1  

Temos

lim x -> 0 (1-2x-x^2 -x^2 - 2x - 1)/x(raiz(1-2x-x^2) + x + 1 )  

lim x -> 0 (-4x - 2x^2)/x(raiz(1-2x-x^2) + x + 1 )

Didindo emcima e embaixo por x

lim x -> 0 (-4 - 2x)/(raiz(1-2x-x^2) + x + 1 )

(-4 -2*0)/(raiz(1-2*0-0^2) + 0 + 1 )

-4/2 = -2