Question

lim √ (1-2x-x^2) - 1 /x onde x ---> 0

não pode usar método de L'Hospital

Answer 1

Acompanhe a racionalização:

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-2x-x^2}-1}{x} = \\ \\ \\ \frac{\sqrt{1-2x-x^2}-1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1-2x-x^2}+1}{\sqrt{1-2x-x^2}+1} = \\ \\ \\ \frac{(\sqrt{1-2x-x^2})^2-1}{x \cdot (\sqrt{1-2x-x^2}+1)}= \\ \\ \\ \frac{1-2x-x^2-1}{x \cdot (\sqrt{1-2x-x^2}+1)} = \\ \\ \\ \frac{-2x-x^2}{x \cdot (\sqrt{1-2x-x^2}+1)}= \\ \\ \\ \frac{x \cdot (-2-x)}{x \cdot (\sqrt{1-2x-x^2}+1)} = \\ \\ \\ \frac{-2-x}{\sqrt{1-2x-x^2}+1}= \\ \\ \\ \frac{-2-0}{\sqrt{1-2 \cdot 0-0^2}+1}= \boxed{-1}$