Question

Lim 1 + (-1)^x, com x tendendo ao infinito

Answer 1

Teorema 1
Se $\mathsf{a_{n}=f(n)}$ é uma sequência e $\mathsf{\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\ell}$, então

$\mathsf{\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=\ell}$

Então, a negação do teorema 1 é:

Se a sequência $\mathsf{a_{n}}$ diverge, então o limite de f(x) quando x tende a infinito não existe

Teorema 2
Se $\mathsf{a_{n}}$ converge para $\mathsf{\ell\in\mathbb{R}}$, então qualquer subsequência de $\mathsf{a_{n}}$ converge para $\ell$.

Logo, basta encontrar duas subsequências de $\mathsf{a_{n}}$ convergindo para números diferentes (ou pelo menos uma delas divergindo) para mostrar que a sequência $\mathsf{a_{n}}$ diverge (não converge)
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Queremos avaliar

$\mathsf{\lim\limits_{x\to\infty}1+(-1)^{x}}$

Vamos considerar a sequência associada, $\mathsf{a_{n}=1+(-1)^{n}}$. Se mostrarmos que essa sequência não converge, então fica mostrado que o limite não existe.

Considere a subsequência dos termos de índice par:

$\mathsf{a_{2n}=1+(-1)^{2n}=1+\big[(-1)^{2}\big]^{n}=1+\big[1\big]^{n}=1+1=2}$

Claramente essa subsequência converge para dois, pois ela é constante igual a dois.

Agora, considere a subsequência dos termos de índice ímpar:

$\mathsf{a_{2n+1}=1+(-1)^{2n+1}=1+(-1)^{2n}\cdot(-1)^{1}=1+1\cdot(-1)^{1}=0}$

Claramente essa subsequência converge para zero, pois também é constante (igual a zero)

Ou seja, encontramos duas subsequências de $\mathsf{a_{n}}$ que convergem, mas para valores diferentes. Pelo teorema 2, a sequência $\mathsf{a_{n}}$ não converge (diverge)

Utilizando o a negação do teorema 1, concluímos que o limite dado não existe.

$\boxed{\boxed{\mathsf{\lim\limits_{x\to\infty}1-(-1)^{x}\,\,\,\,\,n\~ao\,\,existe}}}$