Question

lim [1/1-x - 3/1-x³] quando x tende a 1

Answer 1

$\\ \lim_{x \to 1} [ \frac{1}{1-x} - \frac{3}{1-x^3} ] = \\ \\ \lim_{x \to 1} [ \frac{1*(1-x^3) -3(1-x)}{(1-x)*(1-x^3)}] = \\ \\ \lim_{x \to 1} [ \frac{-x^3+3x-3+1}{1*1 +1*(-x^3)-1*x-x*(-x^3)} ] = \\ \\ \lim_{x \to 1} [ \frac{-x^3+ 3x-2}{x^4-x^3-x+1}] =$

Eu poderia resolver esse limite em dois limites, usando a propriedade das somas do limite. Mas irei demonstrar de outra maneira.

se substituirmos, o "x" na equacao ira dar 0/0, isso implica que o "x" é uma raizes da equação. Entao podemos usar o método de Briot ruffini. Divisao de polinomio de grau 1:

X = 1

Vamos fatorar o denominador e o numerador:

P(x) = -x³ + 3x -2
Q(x) = x⁴ -x³ -x +1

Começando por P(X)

-x³ +0x² + 3x -2 /
 
 -1    0        3   - 2/     Raiz = 1     

       -1      -1    2

-1   -1       2     0

-x² -x + 2 = 0

Vamos achar outra duas raizes Por bascara:

Δ = b² -4*a*c

Δ = (-1)² -4*(-1)*(2)

Δ = 1 + 4*2

Δ = 9

X = [-b +/- √Δ]/2*a

X = [-(-1) +/- √9]/2*(-1)

X = [1 +/- 3]/-2

X' = (1 + 3)/-2 ⇔ 4/-2 ⇒ -2

X" = (1-3)/-2 ⇔ -2/-2 ⇒ 1

Raizes de P(x) = {1, 1, -2)

Forma fatorada ⇒ P(x) = a(x -R₁)(x -R₂)(x - R₃)

P(x) = -1(x  -1)(x -1)(x + 2)

Agora vamos para o Q(x)

x⁴ -x³+ 0x² -x +1 /
                            /  Raiz = 1
    -1    0    -1   1  
     1    0    0    -1

1   0    0    -1    0

x³ +0x²+0x¹-1 = 0

x³ - 1 = 0

x³ = 1
x ∛1
x = 1

Vamos usar mais uma vezes o Briot ruffini, mas com raiz igual a 1 novamente.

F(x) = x³ + 0x² +0x - 1

x³ + 0x²+0x - 1
       
       0      0     -1 /   Raiz = 1

       1     1      1

1     1     1      0

x²  +x + 1 = 0

Calculando Bascara novamente:

Δ = b² -4*a*c

Δ = (1)² -4*(1)*(1)

Δ  = 1 -4

Δ = -3

Δ < 0 

Nao podemos fatora essa função, pois nao ha raiz real! Até poderiamos  fatorar pelo método de completar quadrados, mas nao a nescessidades. Vamos levar essa expressao assim:
 
Q(x) = a(x -R₁)(x-R₂)(x²+bx +c)

Q(x) = 1(x -1)(x - 1)(x² + x + 1)


             
 Vamos levar os resultados para o limite:
 
 
 $\\ \lim_{x \to 1} \frac{-(x-1)(x-1)(x+2)}{(x-1)(x-1)(x²+x+1)} = \\ \\ \lim_{x \to 1} - \frac{-(x+2)}{(x²+x+1)} = \\ \\ \lim_{x \to 1} \frac{-(1+2)}{(1²+1+1)}$
 
$\lim_{x \to 1} \frac{-3}{3} = -1$


Ou seja,  limite quanto pra esquerda quanto a direita, tendera a "ZERO"