Question

lim 0 , 1 - cosx / x^2 = 1/2

Answer 1

Olá

$\lim_{x \to 0} \frac{1-cosx}{x^2}$


O princípio é sempre tentar transformar o limite no 1º limite fundamental
Para isso, vamos multiplicar pelo conjugado, assim teremos o sen²x.

$\lim_{x \to 0} \frac{1-cosx}{x^2} ~ \cdot~ \frac{1+cosx}{1+cosx} \\ \\ \lim_{x \to 0} \frac{1^2-cos^2x}{x^2(1+cosx)} } \\ \\ \lim_{x \to 0} \frac{sen^2x}{x^2(1+cosx)} \\ \\ Podemos~reescrever~dessa~maneira \\ \\ \\ \lim_{x \to 0} \frac{sen^2x}{x^2}\cdot \frac{1}{1+cosx}=1\cdot \frac{1}{1+1}= \frac{1}{2}$

Answer 2

Lim{x→ 0}  (1 - cosx) / x² ← indeterminação 0/0 passiva da aplicação da Regra de L'Hopital

■ Deriva numerador; Deriva Denominador. (I) 

Lim{x→ 0}(1-cosx)' / (x²)' = Lim{x→ 0}(-(-sen(x)) / 2x = Lim{x→ 0} senx / 2x

Porém, passando o limite ainda continuamos com 0/0

■ Aplica novamente (I)

Lim{x→ 0} senx / 2x = Lim{x→ 0} cosx / 2 e passando o limite fica:

Lim{x→ 0} cosx / 2 = 1/2

∴ Lim{x→ 0}  (1 - cosx) / x² 

*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*
16/10/2016
Sepauto
SSRC
*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*