Question

Lilian é amirmã mais velha de Lorena e a diferença entre as suas idades é 5 anos. Determine a idade de cada uma sabendo que o produto entre as suas idades é 176.

Answer 1

Resposta:

Lilian = 16 anos

Lorena = 11 anos

Explicação passo-a-passo:

Olá Moabio, tudo bem?

Vamos ter que 'matematizar' esse problema, isto é, transformar o que interpretarmos em equações matemáticas. Primeiramente, vamos trocar o nome da Lilian por 'x', e o nome da Lorena por 'y'. Sabemos que a diferença de idade entre elas é de 5, portanto:

x - y = 5

Também sabemos que o produto entre as idades, isto é, a multiplicação da idade que cada uma tem, é igual a 176. Então, temos outra equação:

x*y = 176

Ambas equações estão interligadas, concorda? Uma complementa a outra, trazendo informações que vão nos ajudar a resolver esse problema. Chamamos isso de sistema de equações:

$\left \{ {{x-y=5} \atop {xy=176}} \right.$

Para que possamos resolver esse sistema, precisamos isolar uma das incógnitas de uma das equações. Vou isolar o 'x' da primeira equação porque parece mais fácil, ok?

x - y =5

x = 5 + y

Agora que isolamos x, podemos usar esse valor e substituir na segunda equação para que possamos ter uma equação dependente apenas de y:

xy = 176

(5+y)y= 176

5y+y²=176

y²+5y-176=0

Dessa forma, temos uma equação de segundo grau que será resolvida através da fórmula de Bhaskara, onde temos que a = 1 (termo que acompanha o x²), b = 5 (termo que acompanha o x) e c = -176 (termo sozinho):

$y=\frac{-b+-\sqrt{b^2-4*a*c} }{2*a} \\\\y=\frac{-5+-\sqrt{5^2-4*1*(-176)} }{2*1} \\\\y=\frac{-5+-\sqrt{25+704} }{2}\\\\y=\frac{-5+-\sqrt{729} }{2}\\\\y=\frac{-5+-27}{2}$

Agora, visto que a equação de Bhaskara sempre nos fornece dois valores para solucionar a equação, vamos primeiro usar o lado negativo:

$y'=\frac{-5-27}{2} \\\\y' =\frac{-32}{2} \\\\y' = -16$

Resultou numa idade negativa! Visto que não é aplicável ao nosso problema, vamos descartar esse valor e analisar o lado positivo:

$y''=\frac{-5+27}{2} \\y''=\frac{22}{2} \\y''=11$

Agora, 11 parece uma idade plausível. Portanto, descobrimos que o valor da idade de uma das irmãs é de 11 anos. Por fim, para descobrir a idade da outra irmã, vamos usar a primeira equação lá do início da nossa resolução aplicando esse valor de y que encontramos:

x-y=5

x-11=5

x=5+11

x = 16

Fim do problema! 'Desmatematizando' o exercício, temos que a idade de Lilian ('x') é de 16 anos, e sua irmã mais nova Lorena ('y') possui 11 anos de idade.

Espero ter ajudado!