Question

Ligando alguns vértices de uma malha quadrada formada por 8x8=64 quadradinhos de 1 cm de lado foram construídos os quadrados ABCD e MNPQ, como na figura a seguir:

a) Qual é o comprimento do lado do quadrado ABCD?

b)Qual é a área, em $cm^{2}$ , da região sombreada?

Answer 1

Independente de estar torto, como o da figura, ou não uma coisa sobre um polígono não muda: sua área. No caso de um quadrado de lado L sua área, L². Vamos, então, primeiramente calcular os lados dos dois quadrados.
Ah, vou chamar o lado do quadrado ABCD de S e o do quadrado MNPQ de s.

Olha ali a figura, coloquei mais dois pontos, E e T. Note algumas coisas: AE mede 6 cm, ED mede 2 cm, MT mede 1 cm e NT mede 3 cm. Note, também, que AB=BC=CD=DA=S e que MN=NP=PQ=QM=s, daí, pra responder tudo, basta usar Pitágoras duas vezes

Triângulo AED:
$AD^{2}=AE^{2}+ED^{2} => S^{2}=6^{2}+2^{2} => S^{2}=40$
Triângulo MNT:
$MN^{2}=TM^{2}+TN^{2} => s^{2}=1^{2}+3^{2} => s^{2}=10$

Agora às respostas:
a) Tirando a raiz dos dois lados e considerando só o valor positivo tu tens que $S=\sqrt{40}$, ou ainda $S=2\sqrt{10}$
b) A área sombreada é igual à área do quadrado ABCD menos a área do quadrado MNPQ, mas já temos esses dois valores, que são S² e s², daí, chamando a área sombreada de Ç:
Ç = S² - s² = 40-10 => Ç = 30 cm²