Question

Li num livro, o seguinte, a respeito de derivadas.
"Se uma planta cresce de modo uniforme 2 metros por ano, o incremento de sua altura em metros por ano é 2. Nesse caso, podemos dizer que o crescimento é a derivada da altura com relação ao tempo."

A respeito disso faço a seguinte pergunta:
Por acaso esse 2 metros de incremento que ocorre na altura é o valor da derivada quando ∆x está próximo de zero? A resposta sendo sim ou não, alguém pode me esclarecer melhor?

Answer 1

O fato de o texto apresentar a seguinte expressão:

"A planta cresce de modo uniforme..."

Já nos permite concluir que a função que determina o crescimento da planta é uma função polinomial do 1º grau:

$y(x)=ax+b$


Para esta questão, temos que $a=2,\;\;\;$ para todo $x\geq 0.$

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Então, a altura, em função do tempo é dada por

$y(x)=2x+b$

sendo $b$ uma constante.


Como já sabemos, no caso particular das funções de 1º grau, a derivada (enxergada como uma função constante de $x$) sempre vai ser igual ao quociente $\dfrac{\Delta y}{\Delta x},$ independente dos pontos que você escolher para calcular este quociente:

$y'(x)=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\text{constante}$


Isto ocorre somente porque $y$ é uma função afim (do 1º grau).

Nos outros casos, a derivada não vai ser constante, e vai depender do ponto em que se calcula.