Question

letra c) Calcule o volume do solido em R^3 abaixo do paraboloide z = x^2 + 4y^2 e acima do
ret^angulo R = [0, 2] x [1, 4].

Answer 1

Nessa não precisamos ver o que está acontecendo, pois é aplicação direta da definição de integral dupla e do Teorema de Fubini.

Queremos o volume do sólido entre o plano e o gráfico de uma função não-negativa (note que $z=x^{2}+4y^{2}\ge0~\forall~(x,y)\in\mathbb{R}^{2}$). Esse volume é, por definição, a integral dupla da função no domínio dado, que é um retângulo.

$V=\displaystyle\iint_{R}(x+4y^{2})\,dA$

Escolhendo uma ordem de integração, temos, pelo Teorema de Fubini:

$V=\displaystyle\int\limits_{1}^{4}\int\limits_{0}^{2}(x^{2}+4y^{2})\,dx\,dy$

Integrando primeiro em x, consideramos y como constante:

$V=\displaystyle\int\limits_{1}^{4}\bigg[\dfrac{x^{3}}{3}+4xy^{2}\bigg]_{x=0}^{x=2}dy\\\\\\V=\int\limits_{1}^{4}\bigg[\dfrac{2^{3}}{3}+4\cdot2y^{2}-\dfrac{0^{3}}{3}-4\cdot0y^{2}\bigg]\,dy\\\\\\V=\int\limits_{1}^{4}\bigg[\dfrac{8}{3}+8y^{2}\bigg]\,dy\\\\\\V=\bigg[\dfrac{8}{3}\,y+\dfrac{8}{3}\,y^{3}\bigg]_{1}^{4}\\\\\\V=\dfrac{8}{3}\bigg(4+4^{3}-[1+1^{3}]\bigg)\\\\\\V=\dfrac{8}{3}\bigg(4+64-2\bigg)\\\\\\V=\dfrac{8}{3}\cdot66\\\\\\\boxed{\boxed{V=176~\mathbf{u.v}}}$