Question

letra b )Inverta a ordem de integração e calcule a integral ∫(0 .. π) ∫(x .. π) sen y/y dy dx

Answer 1

Olá Matematicando!

Temos a integral:

$\int\limits^ \pi _0 {} \, \int\limits^ \pi _x { \frac{Sen(y)}{y} } \, dydx$

Observando o seu domínio da região R²

Temos:
 
$\\ 0 \leq x \leq \pi \\ \\ x \leq y \leq \pi$

Vamos representar esse gráfico no plano cartesiano:

Temos uma região triângular
y
|π             .
|            .   |
|        .       | 
|   .            |
|-----------------------> x
o            x= π

A reta acima da origem representada em pontos até x = π é " Y = x"

Vamos inverter nossa integração.

Se "y = x"

x = y   Concorda?

Logo,  x varia de " x  = y até x = π"

$y \leq x \leq \pi$

Já y, varia de "0 a π"

$0 \leq y \leq \pi$
---------------------------------

Mas observa que podemos fazer "x variar de 0 a y" Essa região é simétrica a X = y até x = π

Nossa integral fica:

$\int\limits^ \pi _0 {} \, \int\limits^ \pi _x {} \, \frac{Sen(y)}{y} dydx = \int\limits^ \pi _0 {} \, \int\limits^ y _0 {} \, \frac{Sen(y)}{y} dxdy$

Em relação a "x" Sen(y)/y é constante

$\\ \int\limits^ \pi _0 {}\int\limits^ y _0 {} \, \frac{Sen(y)}{y} dxdy \\ \\ \int\limits^ \pi _0 {\frac{xSen(y)}{y} }|(0,y) \, dy \\ \\ \int\limits^ \pi _0 ({\frac{ySen(y)}{y} }-0) \, dy \\ \\ \int\limits^ \pi _0 {Sen(y) } \, dy \\ \\ -Cos(y) |(0, \pi ) \\ \\ -Cos( \pi ) - [ -Cos(0)] \\ \\ -(-1) - [ - 1 ] \\ \\ 1 + 1 \\ \\ 2$