Question

Lembre que, para todo θ∈R, cos(3θ)=4cos3(θ)−3cos(θ) Então cos20∘ é raiz de um polinômio da forma 8x3+ax+b com a,b∈R. Qual o valor de a+b?

Answer 1

No polinômio que tem cos(20º) como raiz, os coeficientes linear e independente são respectivamente a=-6 e b=-1.

Qual é o polinômio equivalente à identidade trigonométrica?

A identidade trigonométrica apresentada é a seguinte:

$cos(3\theta)=4.cos^3(\theta)-3.cos(\theta)$

Se fizermos a troca de variável $x=cos(\theta)$, o primeiro membro poderia ser o termo independente, então, o polinômio fica assim (passando todos os termos para o segundo membro):

$4x^3-3x-b=0$

Porém, o coeficiente do termo cúbico é 4, esse coeficiente no polinômio apresentado é 8, é possível multiplicar por 2 em ambos membros:

$8x^3-6x-2.cos(3.20\º)=0$

Nesse caso, o valor do termo independente '2b' é igual ao duplo do cosseno de 3*20º, então, o polinômio fica assim:

$2cos(3.20\º)=2cos(60\º)=2.\frac{1}{2}=1$

Agora, é fácil expressar o polinômio que têm cos(20º) como raiz e achar o valor dos coeficientes 'a' e 'b':

$8x^3-6x-1=0\\\\a=-6\\b=-1$

Saiba mais sobre as identidades trigonométricas em https://brainly.com.br/tarefa/20790118

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