Question

lembrando (que in u)¹= u/u se f (x,y)=in (x²+y²) determine af/ax+af/ay

Answer 1

$f(x,\;y)=\mathrm{\ell n}(x^{2}+y^{2})$

Calcular as derivadas parciais de $f$ em relação a $x$ e em relação a $y:$


$\bullet\;\;$ Derivada parcial de $f$ em relação a $x:$


Na derivada em relação a $x,$ consideramos $y$ como constante:

$\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,\;y)=\dfrac{\partial}{\partial x}\left[\mathrm{\ell n}(x^{2}+y^{2}) \right ]\\ \\ \\ \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,\;y)=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})\\ \\ \\ \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,\;y)=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot (2x+0)\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c}\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,\;y)=\dfrac{2x}{x^{2}+y^{2}} \end{array}}$


$\bullet\;\;$ Derivada parcial de $f$ em relação a $y:$

Agora, considerando $x$ constante:

$\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,\;y)=\dfrac{\partial}{\partial y}\left[\mathrm{\ell n}(x^{2}+y^{2}) \right ]\\ \\ \\ \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,\;y)=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})\\ \\ \\ \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,\;y)=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot (0+2y)\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c}\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,\;y)=\dfrac{2y}{x^{2}+y^{2}} \end{array}}$