Question

Leis de Moivre, me ajudem, não entendo! D:
Aplique a primeira lei de Moivre:
a) (3+ raiz de 3i)^5
b) (2 raiz de 3 + 2i) 4

Aplicando a segunda lei de Moivre:
a) calcule as raizes quadradas de i.
b) calcule as raizes cúbicas de 8.

Answer 1

a)
Primeiro calcula o módulo de z = 
|z|=√( (3)²+(√3)² )  =>  |z|=√( 9+3)   =>  |z|=√12  => |z|= √2².3 =>|z|= 2√3

Agora é só calcular o seno e o cosseno .
Para o cosseno divida a parte real pelo módulo encontrado.
cosФ=  3      =    3    . 2√3   =  6√3  = √3
           2√3        2√3    2√3        12      2

Para o seno divida a parte imaginária pelo módulo encontrado.
sen Ф=   √3      =  1 
             2√3          2

Avaliando os resultados de cosseno √3 /2   e seno 1/2  no círculo trigonométrico o angulo será de 30· ou  π/6. 

Agora vamos escrever o número na forma trigonométrica:

z= 2√3 (cos π  + i sen π )
                    6             6
Agora vamos aplicar a fórmula de Moivre:  z²= p²(cos (2Ф) + i sen (2Ф) )

zˆ5 = (2√3)ˆ5 (cos 5π  + i sen 5π )
                             6                6
zˆ5= 498,83 ( -0,86 + 0,5i )
zˆ5=  -432 + 294,41i

b)
Primeiro calcula o módulo de z = 
|z|=√( (2√3)²+(2)² )  =>  |z|=√( 12+4)   =>  |z|=√16  => |z|= 4

Agora é só calcular o seno e o cosseno . 
Para o cosseno divida a parte real pelo módulo encontrado.
cosФ=  2√3    = √3  
               4         2

Para o seno divida a parte imaginária pelo módulo encontrado.
sen Ф=   2      =  1 
              4           2

Avaliando os resultados de cosseno √3 /2   e seno 1/2  no círculo trigonométrico o angulo será de 30· ou  π/6. 

Agora vamos escrever o número na forma trigonométrica:

z= 4 (cos π  + i sen π )
                 6             6
Agora vamos aplicar a fórmula de Moivre:  z²= p²(cos (2Ф) + i sen (2Ф) )

zˆ4 = 4ˆ4 (cos 4π  + i sen 4π )
                       6                6
zˆ5= 256 ( -0,5 + 0,86i )
zˆ5=  -128 + 221,70i

Conferi a resposta e estão corretas.  :D

2a)

|z| = √0²+1²   => |z|=1

cosФ = 0/1 = 0
senФ = 1/1 = 1
Ф = π/2

z= 1 (cosπ/2 + isenπ/2)
Aplicando a segunda fórmula de Moivre:
zw= √1 (cosπ/2 + 2kπ) + (isen π/2 + 2kπ))
                           2                      2

Atribuindo k=0
z0 = √1 ( (cos π/2 + 2.0π) + ( isenπ/2 + 2.0.π)
                       2                               2     
z0=1 (cos π/4) + (isen π/4))
z0 = √2/2 + √2/2i

Atribuindo k=1
z1 = √1 ( (cos π/2 + 2.1π) + ( isenπ/2 + 2.1.π)
                       2                               2     
z1=1 (cos 5π/4) + (isen 5π/4))
z1 = -√2/2 - √2/2i

b) 
|z| = √8²+0²   => |z|=8

cosФ = 8/8 = 1
senФ = 0/8 = 0
Ф = 0π

z= 8 (cos0π + isen0π)
Aplicando a segunda fórmula de Moivre:
zw= ³√8 (cos0π + 3kπ) + (isen 0π + 3kπ))
                           3                      3

Atribuindo k=0
z0 = ³√8 ( (cos 0π + 3.0.0π) + ( isen0π + 3.0.0π)
                       3                              3     
z0=2 (cos 0 + 0i)
z0 = 2(1 + 0i)
z0 = 2

Atribuindo k=1
z1 = ³√8 ( (cos 0π + 3.1.0π) + ( isen0π + 3.1.0π)
                       3                              3     
z1=2 (cos 0 + 0i)
z1 = 2(1 + 0i)
z1 = 2

Atribuindo k=2
z2 = ³√8 ( (cos 0π + 3.2.0π) + ( isen0π + 3.2.0π)
                       3                              3     
z2=2 (cos 0 + 0i)
z2 = 2(1 + 0i)
z2 = 2