Question

Leia o trecho a seguir:

A interpretação geométrica dos produtos escalar, vetorial e misto são, em alguns casos, as únicas ferramentas para resolver alguns problemas. Por exemplo: A área do triângulo é dado pela metade do módulo do produto vetorial entre dois dos vetores formadores do triângulo. Escolhe-se vetores
⃗
u
e
⃗
v
e aplica a fórmula
S
=
1
2
∥
∥
∥
∥
∥
⃗
i
⃗
j
⃗
k
x
u
y
u
z
u
x
v
y
v
z
v
∥
∥
∥
∥
∥
.
Texto elaborado pelo autor da questão.

Considere o excerto de texto, os conteúdos do livro-base Geometria Analítica e o triângulo cujos vértices são os pontos
A
=
(
2
,
0
,
0
)
,
B
=
(
0
,
2
,
0
)
e
C
=
(
0
,
0
,
4
)
. A área deste triângulo é:

Dica: Primeiro forme os vetores
⃗
u
e
⃗
v
, cada um com dois pares de pontos.
A
16
u.a.
B
6
u.a.
C
12
u.a.
D
144
u.a.
E A área é nula.

Answer 1

A área deste triângulo é 6 u.a.

Sendo A = (2,0,0), B = (0,2,0) e C = (0,0,4), temos que os vetores AB e AC são iguais a:

AB = (0,2,0) - (2,0,0)

AB = (0 - 2, 2 - 0, 0 - 0)

AB = (-2,2,0)

e

AC = (0,0,4) - (2,0,0)

AC = (0 - 2, 0 - 0, 4 - 0)

AC = (-2,0,4).

Agora, devemos calcular o produto vetorial AB x AC, ou seja, devemos calcular o determinante da matriz $\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\-2&2&0\\-2&0&4\end{array}\right]$.

Dito isso, temos que:

AB x AC = i(2.4 - 0.0) - j((-2).4 - (-2).0) + k((-2).0 - (-2).2)

AB x AC = 8i + 8j + 4k

AB x AC = (8,8,4).

A norma do vetor AB x AC é igual a:

||AB x AC||² = 8² + 8² + 4²

||AB x AC||² = 64 + 64 + 16

||AB x AC||² = 144

||AB x AC|| = 12.

Portanto, podemos concluir que a área do triângulo ABC é igual a:

S = 12/2

S = 6 u.a.