Question

Leia o texto:

O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas.
Fonte: Texto elaborado pelo autor.

Considerando o texto acima e utilizando as técnicas de integração aprendidas ao longo da Videoaula "Exercícios" - Tema 01: Integrais Duplas - da Aula 05 e do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, indique a alternativa que apresenta o valor correto de 

I.I.
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy.
​

Answer 1

A integral definida I vale 3/2. Letra b).

As alternativas da questão são:

a) 1/2

b) 3/2

c) 5/2

d) 7/2

e) 9/2

Temos a seguinte integral dupla:

$I = \int\limits^2_0 {\int\limits^1_0 {(x^3 + xy)} \, dx } \, dy$

Primeiramente integrar em relação a x, considerando y como uma constante, removendo assim a integral interna (em termos de dx):

$I = \int\limits^2_0 {\int\limits^1_0 {(x^3 + xy)} \, dx } \, dy = \int\limits^2_0 {(\frac{x^4}{4} + \frac{x^2y}{2} )|^1_0} \, dx = \int\limits^2_0 {1/4 + y/2 - 0 - 0} \, dx = \frac{1}{2} \int\limits^2_0 {(y + 1/2)} \, dx$

Agora vamos resolver a integral em termos de y:

$I = \frac{1}{2} \int\limits^2_0 {(y + 1/2)} \, dx = \frac{1}{2} (\frac{y^2}{2} + \frac{y}{2} )|^2_0 = \frac{1}{2} (4/2 + 2/2 - 0 - 0) = \frac{1}{2} (2 + 1) = 3/2$

Você pode aprender mais sobre Integração aqui: https://brainly.com.br/tarefa/20009976