Leia o exercício resolvido extraído do portal do saber da OBMEP.
Exercício.
No planeta X, existem apenas dois tipos de notas de dinheiro: $5 e $78.
É possível pagarmos exatamente $7 por alguma mercadoria? E se as notas fossem de $ 3 e $78?
Resolução:
Veja que 2 × 78 − 31 × 5 = 1 e consequentemente 14×78−217×5=7. Basta darmos 14 notas de de $ 78 para recebermos 217 notas de $ 5 como troco na compra de nossa mercadoria. Usando as notas de $3 e $78 não é possível, pois o dinheiro pago e recebido como troco por algo sempre múltiplo de 3 e 7 não e múltiplo de 3.
Com base nessas informações resolva o problema abaixo, responda as duas perguntas abaixo:
Se em um planeta Y, existem apenas dois tipos de notas de dinheiro $5 e $62.
1) É possível pagar exatamente $1 por uma mercadoria?
Obs: Justifique informando a quantidade de notas utilizadas de $5 e $62.
2) Se for possível pagar somente $1 por uma mercadoria, então é possível pagar qualquer valor exibido como número natural no país Y?
Obs: Justifique de forma clara, não basta somente colocar valores.
Soluções para a tarefa
1 - Sim, é possível pagar exatamente $1 por uma mercadoria, basta analisarmos os divisores em comum de 62 e 5.
62 quando dividido por 5 tem resto 2, ou seja, qualquer múltiplo de 62, terá resto 2 multiplicado pelo número que multiplicou o 62:
2.62 = 104, 104 dividido por 5 tem resto 4, 4 = 2.2
Se tiver um múltiplo de 62 por 3, ele terá resto 1, pois 3.2 = 6 que por 5 terá resto 1.
A forma mais fácil de realizar a transação seria, alguém pagar 3 notas de $62 ($186) e a pessoa dará de troco 37 notas de $5 ($185).
2 - É possível pagar qualquer valor exibido como número natural no país.
Como sempre sobrará apenas múltiplos de 2 como resto de 62 por 5, então pode-se ter resto em que sobra 1 (6 por 5), sobra 2 (2 por 5) , sobra 3 (8 por 5), sobra 4 (4 por 5), sobra 5 (10 por 5)... e assim sucessivamente, é possível fazer sobrar vários valores utilizando-se dos restos da divisão dos múltiplos de 62.
Bons estudos!