Question

Leia atentamente o texto apresentado na sequência a respeito do surgimento do número de Euler: "As
origens do "e" não são tão claras, mas há indícios de que já era conhecido pelos matemáticos pelo menos
meio século antes da invenção do cálculo. Uma explicação é de que teria aparecido primeiro ligado a uma
fórmula para o cálculo de juros compostos. Alguém não se sabe quem ou como, deve ter notado que se um
capital P é composto de n vezes por ano, durante t anos, a uma taxa anual de juros r e se permitirmos que
n aumente sem limites, a soma do dinheiro S. obtida a partir da fórmula S = P (1+r/n) O limite parece se
aproximar de 2.718 Fato que, provavelmente mais uma observação experimental do que uma dedução
matemática assombrou os matemáticos no início do século XII, pois a noção de limite não era conhecida"
(Cunha, 2005, p.2)
Dada a função f(x)=2e²x+², assinale a alternativa que apresenta a derivada da primeira de f(x).
B
C
4e2x-1
4e2x+1
2e2x-1
4e-2x+1
Jim

Answer 1

Dada a função $f(x) = 2e^{2x+2}$, não há alternativa que apresenta a derivada primeira de f(x). A derivada primeira de f(x) é  $f'(x) = 4e^{2x+2}$.

Regra da cadeia

Para resolvermos a derivada da função composta, usamos a regra da cadeia. Dessa forma, fazemos o seguinte:

dy/dx = dy/du · du/dx

Por outra notação temos:

f'(x) = f'(u) · u'(x)

Para a função f(x)=2e²ˣ⁺², faremos f(u) = 2e^u e u(x) = 2x + 2.

A derivada da função exponencial é:

$f'(u) = f(u) = 2e^u\\u'(x) = 2$

Assim, a derivada primeira de f(x) é:

f'(x) = 2e²ˣ⁺² · 2

f'(x) = 4e²ˣ⁺²

A alternativa não existe, o que nos leva a dúvida se o enunciado ou as alternativas estão errados. O enunciado original deveria ter:

$f(x) = 2^{2x + 1}$

Afinal, a função exponencial derivada mantém a mesma função exponencial, apenas multiplicada por outro valor ou função, pois:

$f(x) = e^u\\f'(x) = u' \cdot e^u$

Veja mais sobre a regra da cadeia em:

https://brainly.com.br/tarefa/50095867

#SPJ1