Question

Leia atentamente as seguintes afirmações sobre parametrização de curvas:

I - Se y é função de t e x é função de t, então y é função de x.

II - O gráfico das equações paramétricas x=2cost e y=2sent é uma circunferência de centro na origem e raio 2.

III - O gráfico das equações paramétricas x=t2 e y=t2 é a reta y=x.

IV - A curva representada pelas equações x=t e y=cos(t) pode ser escrita como uma equação da forma y=f(x).

É VERDADEIRO o que se afirma em

Answer 1

É verdadeiro o que está escrito nas afirmativas II, III e IV.

A afirmativa I é falsa por que se x for x=f(t) e se y for y=g(t), então não é necessário que g(t) seja g(f(t)).

Exemplo, podemos tomar x=f(t) t^2 e y = f(t)=sin(t) (ver figura).

Mas não podemos traçar y= g(x) por que a figura não é uma função (para cada valor de x, existe 2 valores diferentes de y (exceto no ponto x=0)

A afirmativa II é verdadeira

Podemos escrever $x^2+y^2=r^2$ (teorema de pitágoras)

ao substituir os valores de x e de y, encontramos o valor do raio r

$x^2+y^2=r^2$

$(2cos(t))^2+(2sen(t))^2=r^2$

$2^2(cos^2(t) +2sen^2(t))=r^2$

$2^2\times1=r^2$ e isto significa que o raio r vale 2.

A afirmativa III é falsa.

$x=t^2$ e $y=t^2$ por causa disso vamos ter $x=y=t^2$. Mas isto não significa que esta reta será a mesma da equação $x=y$

Para valores negativos de t, teremos $x=t^2>0$ e $y=t^2>0$.

Portanto teremos duas semiretas "sobrepostas" com origem no ponto zero e paralelas à reta y=x

A afirmativa IV é verdadeira.

A representação paramétrica x=t faz com que y=cos(t)=cos(x) (pois x e t são iguais) portanto não há diferença entre a equação paramétrica e a "equação comum"

Answer 2

Resposta:

IV - A curva representada pelas equações x=t e y=cos(t) pode ser escrita como uma equação da forma y=f(x).

Explicação passo a passo: