Question

Leia a questão atentamente e responda demonstrando os cálculos ou raciocínio empregados na resolução:

A elipse possui uma grande importância na Astronomia, pois os planetas têm movimentos elípticos. De acordo com a equação a seguir, desenvolva essas representações.

Dada a elipse 10x²+y²=10, determine:
a) A medida do eixo maior;
b) A medida do eixo menor;
c) A medida da distância focal;
d) E faça um esboço dessa elipse no plano cartesiano.

Answer 1

a) O eixo maior vale $\mathsf{2\sqrt{10}}$;

b) O eixo menor vale 2;

c) A distância focal mede 6;

d) *O gráfico dessa parábola está em anexo.

As elipses são comumente representadas, algebricamente, por uma equação na forma:

$\boxed{\mathsf{\dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}} + \dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1}}\\\\\\\mathsf{(h, k) - centro ~ da ~ elipse}\\\mathsf{a - semieixo ~ maior}\\\mathsf{b - semieixo ~ menor }$

Vamos dividir ambos os lados da equação dada na questão por 10 para transforma-la na equação da elipse:

$\mathsf{10x^{2} + y^{2} = 10}\\\\\mathsf{\dfrac{10x^{2} + y^{2}}{10} = \dfrac{10}{10}}\\\\\mathsf{\dfrac{10{\!\!\!\!\!}\diagdown x^{2}}{10{\!\!\!\!\!}\diagdown} + \dfrac{y^{2}}{10}=1}\\\\\mathsf{x^{2}+\dfrac{y^{2}}{10} = 1}$

Agora, rescrevemos isso na forma da equação padrão da elipse:

$\boxed{\mathsf{\dfrac{(x-h)^{2}}{b^{2}}+\dfrac{(y-k)^{2}}{a^{2}}=1 \Rightarrow~}\overline{\underline{\mathsf{\dfrac{(x-0)^{2}}{1^{2}} + \dfrac{(y-0)^{2}}{(\sqrt{10})^{2}}} = 1}}}$

Perceba que o 1² < (√10)², logo, (√10)² é o semieixo maior que deve ser representado por "a". Isso implica que ele o eixo maior da elipse, está paralelo ao eixo y do plano cartesiano.

QUESTÃO A

O eixo maior, equivale ao dobro do semieixo maior:

$\mathsf{a^{2} = (\sqrt{10})^{2}}\\\mathsf{a^{2{\!\!\!}\backslash} = (\sqrt{10})^{2{\!\!\!}\backslash}}\\\\\overline{\underline{\mathsf{a = \sqrt{10}}}}$

$\mathsf{E_{maior} = 2a}\\\mathsf{E_{maior} = 2\cdot \sqrt{10}}\\\\\boxed{\overline{\underline{\mathsf{E_{maior} = 2\sqrt{10}}}}}$

QUESTÃO B

Temos que eixo menor, corresponde ao dobro do semieixo menor:

$\mathsf{b^{2} = 1^{2}}\\\mathsf{b^{2{\!\!\!}\backslash} = 1^{2{\!\!\!}\backslash}}\\\\\overline{\underline{\mathsf{b = 1}}}$

$\mathsf{E_{menor} = 2b}\\\mathsf{E_{menor} = 2\cdot 1}\\\\\boxed{\overline{\underline{\mathsf{E_{menor} = 2}}}}$

QUESTÃO C

Para descobrirmos a distância focal, precisamos antes descobrir o valor de "c". Para isso, usaremos a relação de Pitágoras no triângulo retângulo formado pelo semieixo menor e maior (a e b) e "c":

$\mathsf{a^{2} = b^{2} + c^{2}}$

Então temos:

$\mathsf{(\sqrt{10})^{2} = 1^{2} + c^{2}}\\\mathsf{c^{2} + 1^{2} = (\sqrt[2{\!\!\!}\backslash]{10})^{2{\!\!\!}\backslash}}\\\mathsf{c^{2}+1=10}\\\mathsf{c^{2} = 10-1}\\\mathsf{c = \sqrt{9}}\\\\\overline{\underline{\mathsf{c = 3}}}$

$\mathsf{D_{focal} = 2c}\\\mathsf{D_{focal} = 2\cdot 3}\\\\\boxed{\overline{\underline{\mathsf{D_{focal} = 6}}}}$

QUESTÃO D

Para facilitar o esboço dessa elipse, marque o centro:

(h, k) = (0, 0)

Agora trace duas retas, uma para cima e outra para baixo, no eixo y (vertical) com o tamanho do semieixo maior:

$\mathsf{a = \sqrt{10} \approx 3{,}16}$

Então, trace duas retas, a partir do centro da elipse, no eixo x (horizontal) com exato tamanho do semieixo maior:

b = 1

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