Question

LEI DOS SENOS E COSSENOS! URGENTE

Answer 1

1) Em um triângulo, a Lei dos Senos relaciona as medidas dos lados aos seus ângulos opostos. Por exemplo, em um triângulo $ABC$ qualquer (veja figura anexa). Nesta figura temos:

os três lados de medidas $\mathbf{a}, \ \mathbf{b},\text{ e } \mathbf{c}$
os três ângulos opostos a estes lados respectivamente, medindo $\alpha,\ \beta,\text{ e }\gamma$.

A Lei dos Senos diz que, num mesmo triângulo, a razão entre o seno um ângulo e a medida do lado oposto a este ângulo é sempre a mesma, independente do ângulo e do lado oposto que tomarmos no mesmo triângulo. Assim, no triângulo $ABC$, temos

$\frac{\text{sen }\alpha}{\mathbf{a}}=\frac{\text{sen }\beta}{\mathbf{b}}=\frac{\text{sen }\gamma}{\mathbf{c}}$

2) Já, pela Lei dos Cossenos, relacionamos as medidas dos três lados do triângulo e a medida de um de seus ângulos internos.
Por exemplo, os lados que formam o ângulo $\alpha$ são os lados $\mathbf{b}$ e $\mathbf{c}$, e o lado oposto é o lado $\mathbf{a}$.

Pela Lei dos Cossenos, temos

$\mathbf{a}^2=\mathbf{b}^2+\mathbf{c}^2-2 \cdot \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} \cdot \cos \alpha$

No lado esquerdo da fórmula fica o lado oposto, e no lado direito da equação ficam a relação entre os outros dois lados que formam o ângulo e o cosseno deste ângulo.

Utilizando o mesmo princípio, podemos escrever, para o mesmo triângulo

$\mathbf{b}^2=\mathbf{a}^2+\mathbf{c}^2-2 \cdot \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} \cdot \cos \beta$

$\mathbf{c}^2=\mathbf{a}^2+\mathbf{b}^2-2 \cdot \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \cdot \cos \gamma$

Answer 2

Resposta:

Lei dos senos: relaciona os ângulos de um triângulo com seus lados opostos.

Lei dos cossenos: relaciona o quadrado de cada lado do triângulo com um dos ângulos.

Explicação passo-a-passo:

Esta questão está relacionada com Lei dos senos e Lei dos cossenos. Ambas as leis são utilizadas para resolver problemas que envolvam triângulos quaisquer, sejam eles retângulos, acutângulos ou obtusângulos.

A Lei dos senos indica que existe uma razão ente o seno de um ângulo e a medida do lado oposto ao ângulo. Essa razão é a mesma para todos os ângulos e medidas do triângulo. Sendo um triângulo com pontos A, B e C e ângulos α, β e θ, temos:

$\frac{AB}{sen\alpha}=\frac{BC}{sen\beta}=\frac{AC}{sen\theta}$

A lei dos cossenos é uma expressão matemática que relaciona um dos ângulos do triângulo com as outras medidas. Sendo θ o ângulo em questão e AB e BC as medidas adjacentes, temos a seguinte equação:

$AC^2=AB^2+BC^2-2\times AB\times BC\times cos\theta$