Question

l
$lim (1 \times\frac{1}{3n} ) ^{n}$
quando n tende para o infinito

NB:no lugar de multiplicação eu queria que fosse adição​

Answer 1

Utilizando a rega fundamental do limite exponencial, temos que este limite é igual a e^(1/3).

Explicação passo-a-passo:

Então temos o seguinte limite:

$\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{3n})^n$

E note que n é a mesma coisa que 3n/3, ou seja, podemos substituir:

$\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{3n})^{\frac{3n}{3}}$

E ainda colocar em evidência o expoente 1/3:

$\lim_{n \to \infty} ((1+\frac{1}{3n})^{3n})^{\frac{1}{3}}$

E existe uma regra chamada limite exponencial fundamental que nos diz o seguinte:

$\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x=e$

E note que no nosso caso 3n está servindo como um x, pois ele esta indo para infinito. Assim podemos trocar todo o nosso limite de 3n pela exponencial:

$(\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{3n})^{3n})^{\frac{1}{3}}$

$(e)^{\frac{1}{3}}$

$e^{\frac{1}{3}}$

Então temos que este limite é igual a e^(1/3).