Question

(Kumon) Obtenha os valores máximo e mínimo da função logarítmica:

Answer 1

$y=-(\log_2x)^2+\log_2x^4-1$

$y=-(\log_2x)^2+4\log_2x-1$

Substituímos agora o $\log_2x$ por $u$:

$y=-u^2+4u-1$

Resultou em uma equação do segundo grau com concavidade voltada para baixo, esta equação então só possui um ponto máximo (o vértice).

Vamos aplicar as fórmulas de "y no vértice" e "u no vértice":

$y_v=-\frac{\triangle}{4a}$

$y_v=-\frac{4^2-4.(-1).(-1)}{4.(-1)}$

$y_v-\frac{16-4}{-4}$

$y_v=-\frac{12}{-4}$

$y_v=-(-3)$

$y_v=3$

$u_v=-\frac{b}{2a}$

$u_v=-\frac{4}{2.(-1)}$

$u_v=-\frac{4}{-2}$

$u_v=-(-2)$

$u_v=2$

Agora convertemos este $u_v$ para $x_v$

$\log_2x_v=u_v$

$\log_2x_v=2$

$x_v=2^2$

$x_v=4$

E finalmente concluímos que esta função possui apenas ponto máximo localizado nas coordenadas (4, 3).

Segue gráfico da função caso precise de representação visual para compreender melhor: