Question

Justificando, dê exemplos de conjuntos que: a) Sejam abertos, mas não fechados; b) Sejam fechados, mas não abertos; c) Não sejam fechados nem abertos; d) Sejam ao mesmo tempo fechados e abertos

Answer 1

a) O intervalo X= (a,b) é aberto e não é fechado. Este intervalo é escrito como:

Para qualquer x, a < x < b.

Ele é aberto por que é um intervalo e sempre podemos tomar um ponto x tal que

x $\in$ Int(X), ou seja (a-$\epsilon$, a+$\epsilon$)$\subset$ X-{a}

b) O conjunto dos naturais é fechado.

Para cada um dos números naturais, podemos encontrar uma vizinhança em torno de x tal que o próprio x pertença à esta vizinhança.

Ou seja, encontramos (a-$\epsilon$, a+$\epsilon$)$\subset$ X (observe que tiramos a restrição "a não pode estar no intervalo"

c) Um exemplo de conjunto nem fechado e nem aberto seria o intervalo [0,1).

Este é fechado à esquerda e é aberto à direita. Mas o conjunto como um todo não é nenhum dos dois.

d) A reta real e o conjunto vazio são fechados e abertos ao mesmo tempo.

A reta real é claramente aberto porque sempreexiste a vizinhança onde aplica o aberto.

Também é fechado porque sempre tem vizinhaça onde se aplica a definição de fechado.

O mesmo vale pro vazio já que a vizinhança do vazio é o vazio.