Question

JUROS Um investidor aplicou R$ 1.000 em uma instituição financeira A e R$ 1000 em uma instituição financeira B. Esses investimentos aconteceram na mesma data e com a mesma taxa de juros compostos de 2% ao mês; no entanto, o tempo de aplicação na instituição B foi o dobro do tempo de aplicação na A. Desse modo, considerando que log 4 = 0,602 e log 1,02 = 0,0086, se o montante total das duas aplicações foi de R$ 20.000, o tempo aproximado da aplicação na instituição A foi de

a) 12 meses
b)24 meses
c) 66 meses
d) 70 meses
e) 72 meses

Answer 1

De onde você tirou esse exercício? Que fera! :D

Dados:

$log4 = 0,602;$

$log1,02= 0,0086;$

$A + B = 20000;$

$t_b = 2t_a$

Como se trata de juros compostos, temos que o montante (M) é:

$M = C(1+i)^t$

Onde:

C: capital; e i: taxa.

Como a soma dos montantes A + B = 20000, teremos:

$A = 1000(1 + 0,02)^{ta}$

$B= 1000(1+0,02)^{2ta}$

$1000(1 + 0,02)^{ta} + 1000(1+0,02)^{2ta} = 20000\\ 1000.[(1,02)^{ta}+(1,02)^{2ta}] = 20000 \\(1,02)^{ta} + (1,02)^{2ta} = 20$

Se multiplicássemos por log essa última expressão, teriamos log(1,02^ta + 1,02^2ta) = log20. No entanto, é impossível fazer esse cálculo da soma dos log sem outros dados.

A grande sacada é utilizar equação do segundo grau.

Se chamarmos -> y = 1,02^ta; & y² = 1,02^ta, teremos que:

$(1,02)^{ta} + (1,02)^{2ta} = 20 \to y^2 + y = 20 \to y^2 + y - 20 = 0$

Resolvendo essa equação polinomial de grau dois pelo método de Girard (soma e produto):

x1 + x2 = -b/a ---> x1 + x2 = -1/1 ---> x1 + x2 = -1

x1 . x2 = c/a ---> x1 . x2 = -20/1 ---> x1 . x2 = -20

Temos então que x1 e x2 é respectivamente -5 e 4.

A condição de existência pro logaritmo é que "a > 0;" "b>0;" e "a ≠ 1".

Portanto, y > 0, logo y =4.

Se y = 1,02^t, então:

4 = 1,02^t

log4 = log(1,02)^t

log4 = t. log1,02

0,602 = t*0,0086

$t = \dfrac{0,602){0,0086} \\ \\ t = 70$

Portanto, o tempo de aplicação de A foi igual a 70 meses.