Question

Juros compostos

Após 4 anos, um capital investido a uma certa taxa i% a.a. se quadruplica. Em quanto tempo esse capital torna-se 16vezes seu valor?

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite!

Vamos modelar o problema em dois estágios:

Vou considerar juros compostos!

1) "Após 4 anos, um capital investido a uma certa taxa i% a.a. se quadruplica."

Temos uma taxa i;

Um capital c1;

Um montante m (que já sabemos que após 4 anos será: m = 4c1)

Colocando na expressão que define juros compostos:

$m = c1(1 + i {)}^{n}$

$4c1 = c1(1 + i {)}^{4}$

Como c1 é diferente de zero :

$4 = (1 + i {)}^{4}$

$(1 + i) = \sqrt[4]{4}$

Agora vamos fazer a conta considerando:

m=16 c1:

$16c1 = c1(1 + i {)}^{n}$

$16 = (1 + i {)}^{n}$

Pela expressão que encontramos ali em cima:

$16 = (( \sqrt[4]{4} ) {)}^{n}$

Por potência:

$16 = {4}^{ \frac{n}{4} }$

${4}^{2} = {4}^{ \frac{n}{4} }$

$\frac{n}{4} = 2$

$n = 8$

Assim, o tempo necessário será de 8 anos.