Question

Jugue os itens abaixo em verdade ou falso.
l. A equação reduzida da circunferência de centro C(0 , 3) e R= 1 é x2 + (y - 3)2 = 1.
ll. A equação geral da circunferência de centro C(-4 , 0) e R= 2 é x2 + y2 + 8x + 12 = 0.
3
lll. O raio da circunferência X2 + Y2 - 8X - 20 = 0 é 2√5.
Os itens verdadeiros sao:

A) l e ll
B) ll e lll
C) l e lll
D) l, ll e lll
E) todas são falsas

Answer 1

Temos as seguintes afirmativas:

• l. A equação reduzida da circunferência de centro C(0 , 3) e R= 1 é x² + (y - 3)² = 1.

• ll. A equação geral da circunferência de centro C(-4 , 0) e R= 2 é x² + y² + 8x + 12 = 0.

• lll. O raio da circunferência X² + Y² - 8X - 20 = 0 é 2√5.

• Afirmativa 1:

Vamos julgar as afirmativas em ordem. Primeiro vamos lembrar da equação reduzida de uma circunferência em sua forma padrão.

$(x - a) {}^{2} + (y - b) {}^{2} = r {}^{2}$

Sendo os elementos a e b os valores do centro e r o raio da circunferência. Na primeira afirmativa temos que o centro é C(0,3) e o r = 1, portanto vamos substituir na relação acima:

$(x - 0) {}^{2} + (y - 3) {}^{2} = 1 {}^{2} \\ x {}^{2} + (y - 3) {}^{2} = 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

De fato a primeira afirmativa está correta.

• Afirmativa 2:

A equação geral de uma circunferência em sua forma padrão é dada pela seguinte relação:

$x {}^{2} + y {}^{2} - 2ax - 2by + k = 0$

Mas para chegar nela temos que encontrar primeiro a equação reduzida. Na afirmativa 2 temos que o centro é C(-4,0) e o raio r = 2:

$(x + 4) {}^{2} - (y - 0) {}^{2} = 2 {}^{2} \\ (x + 4) {}^{2} - y {}^{2} = 4 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Resolvendo o produto notável, temos que:

$x {}^{2} + 8x + 16 + y {}^{2} = 4 \\ x {}^{2} + y {}^{2} + 8x + 16 - 4 = 0 \\ x {}^{2} + y {}^{2} + 8x + 12 = 0$

De fato a segunda alternativa está correta.

• Afirmativa 3:

Bem rapidamente já noto que o centro é igual a C(4,0), a partir dessa informação posso encontrar o raio usando a seguinte relação:

$k {} = a {}^{2} + b {}^{2} - r {}^{2}$

Onde "k" é o termo independente da equação geral da circunferência. Substituindo os dados:

$- 20= 4 {}^{2} + 0 {}^{2} - r {}^{2} \\ - 20 = 16 - r {}^{2} \\ - 20 - 36 = - r {}^{2} .( - 1) \\ r {}^{2} = 36 \\ r = \sqrt{36} \\ r = 6$

A afirmativa 3 está incorreta.

Espero ter ajudado