Question

Juca desenhou o triângulo isósceles com AC = BC, determinado pelas coordenadas dos pontos cartesianos A(7, 4), B(7, 0) e C(1, 2). Ao calcular a área e o perímetro desse triângulo, os valores obtidos foram, respectivamente:

a)12 e 4 raiz 10 +4
b) 12 e 2 raiz 13
c) 24 e 2 raiz 10 +4
d) 12 e2 raiz 13 +4
e) 12 e 2 raiz 10 +4

Answer 1

Existe uma fórmula genérica para calcular a área de qualquer polígono tendo apenas suas coordenadas, que é a seguinte :

$\displaystyle \text S = \frac{1}{2}|\left |\begin{array}{ccc}\text x_1 &\text y_1\\\text x_2&\text y_2\\\text x_3&\text y_3\\.&.\\.&.\\ \text x_1&\text y_1\end{ar}\right| |$

A área é igual a metade do módulo do "determinante" da matriz das coordenadas.

Obs : para que funcione vc vai pôr as coordenadas numa ordem, sentido horário ou anti-horário e no final vc vai repetir a 1ª coordenada.

modo de fazer o "determinante" :

diagonal direita menos diagonal esquerda.

Bora pra questão.

Temos o triângulo isósceles AC=BC com seus vértices em :

$\text{A(7,4),\ B(7,0),\ C(1,2)}$

1ºvamos achar o perímetro, fazendo a distância entre pontos AB,AC,BC e soma-los.

distância entre os pontos A e C :

$\text{AC} =\sqrt{(7-1)^2+(4-2)^2} = \sqrt{36+4} = \sqrt{40}$

$\boxed{\text{AC} = 2\sqrt{10}}$

AC = BC, logo, $\boxed{\text{BC} = 2\sqrt{10}}$

Distância entre os pontos A e B:

$\text{AB} = \sqrt{(7-7)^2+(4-0)^2 } = \sqrt{4^2} = 4$

$\boxed{\text{AB} = 4}$

Perímetro (2P) :

$2\text P = 2\sqrt{10}+2\sqrt{2}+4$

$\boxed{2\text P = 4\sqrt{10}+4 }$

Área do polígono:

$\text{A(7,4),\ B(7,0),\ C(1,2)}$

$\displaystyle \text S = \frac{1}{2}|\left |\begin{array}{ccc}\text x_1 &\text y_1\\\text x_2&\text y_2\\\text x_3&\text y_3\\\ \text x_1&\text y_1\end{ar}\right| |$

substituindo :

$\displaystyle \text S = \frac{1}{2}|\left |\begin{array}{ccc}7 &4\\7&0\\1&2\\\ 7&4\end{ar}\right| |$

Diagonal direita : 7.0+7.2+1.4 = 18

Diagonal esquerda : 4.7+0.1+2.7 = 52

Determinante : |18-42| = |-24| = 24

$\displaystyle \text S = \frac{1}{2}.24 = \boxed{12}$

Área = 12

perímetro = $4\sqrt{10}+4$

Letra A