Question

jota desenha duas retas paralelas r e s , marcando alguns pontos pertencentes a cada uma delas, na reta r  ele marca n  pontos distintos e na reta s marca 3 pontos distintos . Sabendo que existem exatamente 30 diferentes triângulos com vértice  nesses pontos marcados, então determine o valor de n .

Answer 1

Sabemos que para formarmos um triângulo devemos ter 3 pontos distintos (diferentes). 

Se temos uma reta com 3 pontos e considerarmos inicialmente que nela vamos ter 2 vértices (pontos) do triângulo, logo na outra terá somente um ponto para cada triângulo formado. Se ligarmos todos os ponto da reta s em um único ponto da reta r podemos formar 2 triângulos menores (onde os vértices da base de cada triângulo formado é composto por pontos adjacentes) mais 1 triângulo maior (onde os vértices da base do triângulo formado é composto pelos pontos mais afastados). Logo, para cada ponto na reta r teremos 3 triângulos. Logo teremos 3n triângulos com a base na reta s. 

Outra forma de deduzir isto é considerarmos que a quantidade de formas diferentes que podemos usar estes 3 pontos, usando 2 por vez é uma combinação, assim:

$C_{a,b}= \frac{a!}{b!(a-b)!}$

$C_{3,2}= \frac{3!}{2!(3-2)!}$

$C_{3,2}= \frac{3!}{2!1!}$

$C_{3,2}= \frac{3.2!}{2!1}$

$C_{3,2}= \frac{3.1}{1.1}$

$C_{3,2}= 3$

Logo, podemos combinar de 3 formas diferentes os 3 pontos 2 a 2. 

Sabendo isso para formar o triângulo usaremos um ponto na reta que tem n pontos. Então formaremos $3n$ triângulos. Veja que ainda não sabemos quantos pontos temos, pois temos que encontra o números menor possível para n.

Prosseguindo, agora vamos fazer o contrário para formar os triângulos. Vamos usar a reta r para a base do triângulo (2 ponto por triângulo). Então para cada triângulo formado usaremos 2 pontos de r e um ponto de s. Sabendo disto, para cada 2 pontos de r podemos formar 3 triângulos (um para cada ponto da reta s). Logo, para saber quanto triângulo podemos formar com n ponto 2 a 2 devemos fazer um combinação e multiplicar por 3, assim:

$C_{a,b}= \frac{a!}{b!(a-b)!}$

$C_{n,2}= \frac{n!}{2!(n-2)!}$

$C_{n,2}= \frac{n(n-1)(n-2)!}{2!(n-2)!}$

$C_{n,2}= \frac{n(n-1).1}{2!.1}$

$C_{n,2}= \frac{n(n-1)}{2}$

$C_{n,2}= \frac{n^2-n}{2}$

Sabemos que temos 30 triângulos diferentes então fazemos a soma dos possibilidades analisadas e igualamos a 30. Assim:

$C_{3,2}.n+3.C_{n,2}=30$

$3.n+3.\frac{n^2-n}{2}=30$

$3n+\frac{3n^2-3n}{2}=30$

$\frac{2.3n+3n^2-3n}{2}=30$

$\frac{6n+3n^2-3n}{2}=30$

$\frac{3n^2+3n}{2}=30$

$3(n^2+n)=2.30$

$n^2+n=\frac{2.30}{3}$

$n^2+n=\frac{2.10}{1}$

$n^2+n=20$

$n^2+n-20=0$

Agora basta resolver esta equação utilizando a fórmula de Báskara. Assim:

$n=\frac{-b\pm \sqrt{Delta}}{2a}$

Onde 

$Delta=b^2-4ac$

$Delta=1^2-4.1.(-20)$

$Delta=1+80$

$Delta=81$

Substituindo o valor de $Delta$, teremos

$n=\frac{-b\pm \sqrt{Delta}}{2a}$

$n=\frac{-1\pm \sqrt{81}}{2.1}$

$n=\frac{-1\pm 9}{2}$

Assim:

$n_1=\frac{-1+9}{2}$

$n_1=\frac{8}{2}$

$n_1=4$

e

$n_2=\frac{-1-9}{2}$

$n_2=\frac{-10}{2}$

$n_2=-5$

Como o valor de $n_2$ é menor que zero e a quantidade de pontos tem que ser um valor maior que zero, então na reta r teremos $4$ pontos para que possamos formar 30 triângulos diferentes.