Question

Josias comprou 5 canetas e 3 lápis e gastou R$21,10. Mariana comprou 3 canetas e 2 lápis e gastou R$12,90. Fernando comprou 2 canetas e 5 lápis. Quanto
ele gastou?

Answer 1

Vamos fazer assim:

$x=$ preço de uma caneta;

$y=$ preço de um lápis.


$\bullet\;\;$ Josias comprou $5$ canetas e $3$ lápis. O preço dessa compra é dada pela expressão

$5x+3y$


Como ele gastou $\mathrm{R\ \;}21,10,$ então devemos ter

$5x+3y=21,10\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


$\bullet\;\;$ Mariana comprou $3$ canetas e $2$ lápis. O total gasto é dado por

$3x+2y$


Como ela gastou $\mathrm{R\ \;}12,90,$ então temos que

$3x+2y=12,90\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


$\bullet\;\;$ Resolvendo o sistema formado pelas equações $\mathbf{(i)}$ e $\mathbf{(ii)}:$

$\left\{ \begin{array}{c} 5x+3y=21,10\\ \\ 3x+2y=12,90 \end{array} \right.$


Isolando $y$ na primeira equação e substituindo na segunda, temos

$5x+3y=21,90\\ \\ 3y=21,90-5x\\ \\ y=\dfrac{21,10-5x}{3}\;\;\;\;\mathbf{(iii)}\\ \\ \\ \\ 3x+2\cdot \left(\dfrac{21,10-5x}{3} \right )=12,90\\ \\ \\ 3x+\dfrac{2\cdot (21,10-5x)}{3}=12,90$


Reduzindo os termos do lado esquerdo ao mesmo denominador,

$\dfrac{9x}{3}+\dfrac{2\cdot (21,10-5x)}{3}=12,90\\ \\ \\ \dfrac{9x+2\cdot (21,10-5x)}{3}=12,90$


Multiplicando os dois lados por $3,$

$\diagup\!\!\!\! 3\cdot \left(\dfrac{9x+2\cdot (21,10-5x)}{\diagup\!\!\!\! 3} \right )=3\cdot 12,90\\ \\ \\ 9x+2\cdot (21,10-5x)=38,70\\ \\ 9x+42,20-10x=38,70\\ \\ 9x-10x=38,70-42,20\\ \\ -x=-3,50$


Multiplicando os dois lados por $-1,$ chegamos a

$x=3,50$


Substituindo de volta na equação $\mathbf{(iii)}$ o valor encontrado, temos

$y=\dfrac{21,10-5\cdot (3,50)}{3}\\ \\ \\ y=\dfrac{21,10-17,50}{3}\\ \\ \\ y=\dfrac{3,60}{3}\\ \\ \\ y=1,20$


Logo, cada unidade de caneta custa $\mathrm{R\ \;}3,50$ e cada unidade de lápis custa $\mathrm{R\ \;}1,20.$


Fernando comprou $2$ canetas e $5$ lápis. Logo, ele gastou

$2x+5y\\ \\ =2\cdot 3,50+5\cdot 1,20\\ \\ =7,00+6,00\\ \\ =\mathrm{R\ \;}13,00$