Question

Josiane está se preparando para o vestibular e em seus estudos sobre logaritmos se deparou com o seguinte problema: "o logaritmo de um número x, em determinada base, é igual a 6. O logaritmo desse mesmo número x, com base igual ao dobro da anterior, é igual a 3. Qual é o valor assumido pelo número x?" considerando o problema apresentado, assinale a alternativa que contém o número x a que esse problema se refere: a) 2. B) 4. C) 36. D) 64. E) 128

Answer 1

O logarítmo de um número em determinada base é basicamente o expoente que define uma potência. O problema se refere a x = 64.

O enunciado diz que o logarítmo de um número x em deternimada base (que chamaremos de a), é igual a 6. Ou seja, a base  a elevada a 6 é igual a x.

Representamos assim:

$\boxed{log_{a}6=x}$

O enunciado também diz que o logaritmo desse mesmo número x, com base igual ao dobro da anterior, é igual a 3, ou seja: a base  2a  elevada a 3 é igual a esse mesmo número x.

Representamos assim:

$\boxed{log_{(2a)}3=x}$

Perceba que as duas representações são iguais a x, e, desta forma, podemos dizer que   $a^{6} =(2a)^{3}$, e daí podemos encontrar o valor de a.

Encontrando a base  a

$a^{6} =(2a)^{3}\\ \\ a^{6} =8a^{3}\\ \\ a^{6} -8a^{3}=0\\ \\ \boxed{a^{3}\cdot(a^{3}-8 )=0}$

Para que essa igualdade seja verdadeira, temos que  a³ = 0   e  a³- 8 =0,

portanto:

$a^{3} -8=0\\ \\ a^{3} =8\\ \\ \sqrt[3]{a^{3} } =\sqrt[3]{8} \\ \\ \boxed{a=2}$

Se a = 2, temos:

$log_{a}6=x\\ \\ \boxed{log_{2}6=64}\\ \\\\ \\ log_{(2\cdot 2)}3=64\\ \\ \boxed{log_{4}3=64}$

Portanto,  x = 64.

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