Question

José escreveu uma sequência em que cada termo $a_{n}$ , com n maior ou igual a 1, é o resto da divisão de n por 7.

a) Escreva os 15 primeiros elementos dessa sequência.

b) Calcule a soma dos 100 primeiros termos dessa sequência.

Answer 1

Resposta:

  a)  (1, 2, 3, 4, 5, 6, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0, 1)

  b)  S = 297.

Explicação passo a passo:

O resto da divisão entre naturais é sempre menor que o divisor. Se o divisor é d = 7, o resto deverá ser necessariamente elemento do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 0}.

Os seis primeiros termos da sequência coincidem com o valor de n, e o sétimo termo é zero:

    (1, 2, 3, 4, 5, 6, 0, ...)

a partir do oitavo termo em diante, a sequência se repete periodicamente, em grupos destes mesmos 7 termos.

Observe que $a_n=0$ se e somente se $n$ é múltiplo de 7.

a) Os 15 primeiros termos da sequência são

    (1, 2, 3, 4, 5, 6, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0, 1)

b) Calcular a soma dos 100 primeiros termos dessa sequência.

Primeiramente precisamos saber quantas vezes a sequência de restos se repete desde $a_1$ até $a_{100}.$ Para isso, fazemos a divisão inteira de 100 por 7:

    $100=14\cdot 7+2$

Como $14\cdot 7=98$, a sequência aparece 14 vezes desde $a_1$ até $a_{98}$, e como 98 é múltiplo de 7, segue que

    $a_{98}=0$

    $a_{99}=1$

    $a_{100}=2$

A soma pedida é

    $S=14\cdot (1+2+3+4+5+6+0)+1+2\\\\S=14\cdot 21+3\\\\ S=294+3\\\\ S=297\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}$

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Bons estudos!