Question

José escreveu uma sequência em que cada termo an, com n maior ou igual a 1, é o resto da divisão de n por 7.
a) Escreva os 15 primeiros elementos dessa sequência.
b) Calcule a soma dos 100 primeiros termos dessa sequência.

Coloque os cálculos e as explicações, por favor​

Answer 1

Resposta:

a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0, 1.

Explicação passo a passo:

EXPLICAÇÃO

É possível deduzir isso devido a propriedade da divisão que dita que o resto de uma divisão, não pode ser menor que seu Divisor, no caso o 7. Sendo assim, temos apenas as opções 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 0 caso a conta seja exata.

Answer 2

a) Os 15 primeiros elementos da sequência são:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0, 1.

b) A soma dos 100 primeiros termos da sequência é $S_{100} = 297$.

Para resolver os dois itens, devemos saber um pouco sobre o algoritmo da divisão para fazermos uso dos restos.

Como funciona o algoritmo da divisão?

• O algoritmo da divisão é uma expressão que é dada por: D = dq + r, onde D é o dividendo, d o divisor e r o resto.
• A única condição deste algoritmo para números inteiros é que $0\leq r < d$.

Na questão, cada um dos termos da sequência será um número entre 0 e 7, e pode-se ainda visualizar que esta será uma sequência periódica dos restos na divisão por 7. Observe:

$a_1=1\\a_2=2\\\vdots\\a_6=6\\a_7=0\\a_8=1\\a_9=2$

E assim por diante. Portanto, os 15 primeiros elementos da sequência são:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0, 1. Respectivamente.

Continuando nesse raciocínio, perceba que, a cada múltiplo de 7 na sequência, teremos dos 7 anteriores uma soma valendo 1+2+3+4+5+6 = 21.

Isto é, quando chegamos ao termo 7 = 7x1, temos uma soma valendo 21x1=21, quando chegamos ao termo 14=7x2, temos uma soma valendo 21x2=42 e assim por diante.

Então a soma dos termos até determinado múltiplo de 7 será $S_{7k} = 21k$.

Logo, quando chegamos ao termo 98 = 7x14, temos uma soma valendo 21x14 = 294. Então a soma dos 98 primeiros termos será $S_{98} = 294$. Portanto, basta somarmos os últimos dois termos $a_{99}=1$ e $a_{100}=2$ para obtermos a soma dos 100 primeiros termos que será: $S_{100} = 297$.

O assunto da questão é de um setor da matemática chamado Teoria dos Números.

Veja mais sobre Teoria dos Números em: https://brainly.com.br/tarefa/51522828

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