Question

José deseja construir um canteiro de flores, num terreno plano cujo formato está representado pela área sombreada abaixo:

Answer 1

$\sf A = \int\limits_{0}^{1} \left( \frac{1}{(x {}^{2} + 1) {}^{2} } - 0 \right)dx \\ \\ \sf A = \int\limits_{0}^{1} \frac{1}{(x {}^{2} + 1) {}^{2} } dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Por substituição trigonométrica usando o caso em que tem-se $\sf \sqrt{x^{2} + a^{2}}$, teremos que:

$\sf tg \theta = \frac{x}{1} \to x = tg\theta$

Derivando isso em relação ao ângulo:

$\sf \frac{dx}{d \theta} = sec {}^{2} \theta \to dx = sec {}^{2} \theta d \theta$

Agora é só substituir essas informações na integral que possuímos:

$\sf A = \int\limits_{0}^{1} \frac{1}{((tg \theta) {}^{2} + 1) {}^{2} } .sec {}^{2} \theta d \theta \\ \\ \sf A = \int\limits_{0}^{1} \frac{sec {}^{2} \theta }{ (\underbrace{tg {}^{2} + 1) {}^{2} } _{sec {}^{2} \theta}} d \theta \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf A = \int\limits_{0}^{1} \frac{sec {}^{2} \theta}{(sec {}^{2} \theta ) {}^{2} } d \theta \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf A = \int\limits_{0}^{1} \frac{sec {}^{2} \theta }{sec {}^{4} \theta } d \theta \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf A = \int\limits_{0}^{1} \frac{1}{sec {}^{2} \theta} d \theta \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf A = \int\limits_{0}^{1} \frac{1}{ \frac{1}{cos {}^{2} \theta} } d \theta \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf A = \int\limits_{0}^{1} cos {}^{2} \theta d \theta \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Mas como sabemos, essa expressão cos²0 pode ser reescrita como:

$\sf cos {}^{2} \theta = \frac{1 + cos(2 \theta)}{2}$

Substituindo essa informação na integral:

$\sf A = \int\limits_{0}^{1} \frac{1 + cos(2 \theta)}{2} d \theta \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf A = \int\limits_{0}^{1} \frac{1}{2} .(1 + cos(2 \theta))d \theta \\ \\ \sf A = \frac{1}{2} \left( \int\limits_{0}^{1}1d \theta + \int\limits_{0}^{1}cos(2 \theta) \right) \\ \\ \sf A = \frac{1}{2} . \left( \theta + \frac{sen(2 \theta)}{2} \right) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf A = \frac{1}{2} . \left( \theta + \frac{2sen \theta.cos \theta}{2} \right) \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf A = \frac{1}{2} \left( \theta + sen \theta.cos \theta \right) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Vamos descobrir a expressão que resulta em theta e qual a expressão do seno e cosseno:

$\sf x = tg \theta \to \theta = actg(x) \\ \\ \sf sin \theta = \frac{x}{ \sqrt{x {}^{2} + 1} } \: \: e \: \: cos \theta = \frac{1}{ \sqrt{x {}^{2} + 1} }$

Substituindo essas expressões:

$\sf A = \frac{1}{2} \left(arctg(x) + \frac{x}{ \sqrt{x {}^{2} + 1} }. \frac{1}{ \sqrt{x {}^{2} } + 1} \right)\\ \\ \sf A = \frac{1}{2} . \left( arctg(x) + \frac{x}{x {}^{2} + 1 } \right) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf A = \frac{1}{2} arctg(x) + \frac{x}{2(x {}^{2} + 1) } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Não devemos esquecer de dispor os limites de integração, pois eles são essenciais no cálculo:

$\sf A = \left( \frac{1}{2} arctg(x) + \frac{x}{2(x {}^{2} + 1)} \right) \bigg | _{0}^{1}$

Teorema fundamental do cálculo:

$\sf \int\limits_{a}^{b}f(x)dx = F(b)-F(a) \to \bigg | _{a}^{b}$

Aplicando, temos que:

$\sf A = \left( \frac{1}{2} arctg(1) + \frac{1}{2(1 {}^{2} + 1)} \right) - \left( \frac{1}{2}arctg(0) + \frac{1}{2.(0 {}^{2} + 1)} \right)\\ \\ \sf A = \frac{1}{2} .45^{ \circ} + \frac{1}{2.(2)} - \frac{1}{2} .0 {}^{ \circ} - \frac{1}{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf A = \frac{1}{2} . \frac{\pi}{4} + \frac{1}{4} - 0 - \frac{1}{2} \\ \\ \sf A = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}\: \\ \\ \sf \sf A = \frac{4\pi - 8}{32} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf A = \frac{4.(\pi - 2)}{32}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{ \boxed{ \boxed{\sf A = \frac{\pi - 2}{8} }}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado