Question

José comprou 16 canetas para dar, todas, aos seus 4 sobrinhos. Admitindo que as canetas sejam distintas, de quantas maneiras ele pode distribuir as canetas para os sobrinhos (cada sobrinho pode ou não receber canetas, mas todas as canetas são distribuídas)? Admitindo que as canetas sejam distintas, de quantas maneiras ele pode distribuir as canetas para os sobrinhos, de modo que cada sobrinho receba 4 canetas? Admitindo que as canetas sejam idênticas, de quantas maneiras ele pode distribuir as canetas para os sobrinhos (cada sobrinho pode ou não receber canetas, mas todas as canetas são distribuídas)? Admitindo que as canetas sejam idênticas, de quantas maneiras ele pode distribuir as canetas para os sobrinhos, de modo que cada sobrinho receba pelo menos 2 canetas?

Answer 1

Resposta:

4

Explicação passo-a-passo:

16 divido por 4 vai dá 4 espero que ajude

Answer 2

i) 3 876 x 16! maneiras

ii) 63 063 000 maneiras

iii) 3876 maneiras.

iv)  711 maneiras.

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A questão está dividida em 4 partes. Para cada uma, será oferecido uma explicação e o raciocínio para chegar a solução correta da questão.

i) A primeira tarefa é descobrir como será feita a divisão. Imaginando cada "|" como uma caneta e cada & como um separador, podemos pensar no seguinte esquema:

||||||||||||||||&&&  ⇒ O primeiro sobrinho recebe todas as canetas.

|||||||||||||&I&I&I  ⇒ O primeiro sobrinho recebe 13 canetas, o segundo uma, o terceiro uma e o quarto uma também.

Observe que, desta forma, cada esquema corresponde a uma possível configuração. Assim:

C₁₉,₃ = 969 maneiras.

Como as canetas são distintas, temos que multiplicar o resultado pelo número de maneiras de permutar as canetas. Como, para cada configuração, há 16! maneiras, temos:

969 x 16! maneiras

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ii) Dado que cada sobrinho recebe 4 canetas, temos de calcular de quantas maneiras isso pode ser feito. Usando combinação simples:

C₁₆,₄ x C₁₂,₄ x C₈,₄ x C₄,₄ = 63 063 000 maneiras

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iii) Se as canetas são iguais, vale o número que representa o número de maneiras para o esquema obtido no item i).

Logo, há 969 maneiras.

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iv) Se cada sobrinho recebe pelo menos 2 canetas, devemos subtrair, do número do resultado do item anterior, os casos em que temos um dos sobrinhos recebendo 0 ou 1 caneta.

Se um dos sobrinhos recebe 0 canetas, os outros recebem juntos 16 canetas. Assim, usando o mesmo esquema do item i), tem-se:

C₁₈,₂ = 153 maneiras.

Se um dos sobrinhos recebe 1 caneta, os outros recebem juntos 15 canetas. Excluindo-se o caso em que um deles pode ter zero, assumimos que cada um tem pelo menos uma caneta. Assim, usando o mesmo esquema do item i), tem-se:

C₁₅,₂ = 105 maneiras.

Assim,

969 - (153 + 105) = 711 maneiras.

Até mais!