Question

Joga-se um dado de seis faces, não viciado, até sair o 6 pela primeira vez. A probabilidade de sair o 6 antes do terceiro lançamento é

Answer 1

No lançamento de um dado, temos $6$ possibilidades:

$S=\{1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6\}$


Vamos definir os seguintes eventos:

$\bullet\;\;E_{1}=\{\text{sair 6 no primeiro lan\c{c}amento}\}$


A probabilidade de o evento $E_{1}$ ocorrer é

$p(E_{1})=\frac{1}{6}$


A probabilidade de não sair $6$ no primeiro lançamento é

$p(\overline{E_{1}})=1-p(E_{1})\\ \\ p(\overline{E_{1}})=1-\frac{1}{6}\\ \\ p(\overline{E_{1}})=\frac{6-1}{6}\\ \\ p(\overline{E_{1}})=\frac{5}{6}$


$\bullet\;\;E_{2}=\{\text{sair 6 no segundo lan\c{c}amento}\}$


A probabilidade de $E_{2}$ ocorrer é

$p(E_{2})=\frac{1}{6}$


Ora, os eventos $E_{1}$ e $E_{2}$ são independentes, pois o resultado do primeiro lançamento não interfere no resultado do segundo lançamento.


$\bullet\;\;$ A questão pede a probabilidade de sair $6$ antes do terceiro lançamento, ou seja, a probabilidade de

sair $6$ no primeiro lançamento, OU

NÃO sair $6$ no primeiro lançamento E sair $6$ no segundo lançamento.


A probabilidade pedida é

$p(E_{1}\text{ ou }(\overline{E_{1}}\text{ e }E_{2}))\\ \\ =p(E_{1}\cup(\overline{E_{1}}\cap E_{2}))$


Ora, os eventos $E_{1}$ e $(\overline{E_{1}}\cap E_{2})$ são mutuamente exclusivos, pois é impossível que ambos ocorram ao mesmo tempo.


Então, a probabilidade da união dos dois eventos é dada pela soma das probabilidades de cada evento:

$p(E_{1}\cup(\overline{E_{1}}\cap E_{2}))\\ \\ =p(E_{1})+p(\overline{E_{1}}\cap E_{2})\\ \\ =p(E_{1})+p(\overline{E_{1}})\cdot p(E_{2})\\ \\ =\frac{1}{6}+\frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}\\ \\ =\frac{1}{6}+\frac{5}{36}\\ \\ =\frac{6}{36}+\frac{5}{36}\\ \\ =\frac{6+5}{36}\\ \\ =\frac{11}{36}$

Answer 2

$\Large\boxed{\boxed{\boxed{{Ola\´\ Fabio}}}}}$

Em um dado , temos faces numeradas de 1 a 6.

⚀⚁⚂⚃⚄⚅

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O dado é jogado ''N'' vezes até que se obtenha a face 6 pela primeira vez. A questão quer a probabilidade de que "N" (quantidade de jogadas) seja menor que 3 , ou seja , a questão pede a probabilidade de jogar  1 ou 2 vezes.

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OBS : Lembrando que ''ou'' significa soma.

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Usaremos a fórmula:

P = CF/CP

Onde:

 P = PROBABILIDADE

CF = CASOS FAVORÁVEIS

CP = CASOS POSSÍVEIS

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Vamos calcular uma a uma .

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P(N=1) Isso significa que a face 6 saiu no primeiro lançamento.

P = 1/6

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P(N=2) Isso significa que a face 6 saiu no segundo lançamento.

P = (5/6) × 1/6

P =5/36

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Como falado acima , ''OU'' significa soma , então vamos somar as probabilidades de saírem na 1º ou 2º jogada .

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1/6 + 5/36 = N

Tirando o MMC dos denominadores = 36

6 + 5  = 36N

11 = 36N

11/36 = N

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A probabilidade é 11/36

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Espero ter ajudado!