Question

Joaquim quer comprar um sítio na região rural de uma cidade. O corretor de imóveis apresentou um mapa da região, conforme mostra o plano cartesiano abaixo, em que as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros. Os pontos A(4, 5) e B(5, 2) representam duas paradas de ônibus que estão localizadas na estrada principal (indicada pela reta r). Existe uma estrada retilínea que liga o ponto médio do segmento AB ao sítio, localizado no ponto S(0, 2). Joaquim só fechará negócio se o sítio estiver a menos de 7 km de cada parada de ônibus, transitando pelas duas estradas. De acordo com os dados, o sítio:

A: está a 2√10km das paradas de ônibus e Joaquim fechará negócio.

B: está a 5km das paradas de ônibus e Joaquim fechará negócio.

C: está a (3√10) / 2 km das paradas de ônibus e Joaquim fechará negócio

D: está a 2√10 km das paradas de ônibus e Joaquim não fechará negócio

E: está a (5√10) / 2 km das paradas de ônibus e Joaquim não fechará negócio

Answer 1

A ( 4 , 5 ) B ( 5 , 2 )

4 + 5 / 2 = x

x = 9/2

5 + 2 / 2 = y

y = 7/2

M ( 9/2 , 7/2 )

AM = MB = u

AM² = ( 4 - 9/2)² + ( 5 - 7/2)²

u² = ( 8 - 9 / 2 )² + ( 10 - 7 / 2 )²

u² = ( - 1/2)² + ( 3/2)²

u² = 1/4 + 9/4

u² = 10/4

u = v10/2 = AM = MB

MS² = ( 9/2 - 0 )² + ( 7/2 - 2 )²

MS² = ( 81/4 ) + ( 7 - 4 / 2 )²

MS² = 81/4 + ( 3/2)²

MS² = 81/4 + 9/4

MS² = 90/4

MS² = 3².10 / 4

MS = 3 V10 / 2

A DISTÂNCIA transitando pelas duas estradas sera  

u + MS = d

v10/2 + 3 v10/2 = d

4 v10 / 2 = d

2 v10 = d

v10 = 3,1622 ( aproxi ... )

2 ( 3,1622 ) = d

d = 6,324 km  

------- > Joaquim fechará o negócio pois a distância será menor que 7 km ( d = 6,324 km )

----------------- > A

Answer 2

O sítio está a 2√10km das paradas de ônibus e Joaquim fechará negócio.

Sendo A e B as paradas de ônibus, o ponto médio M do segmento AB será:

M = (xA+xB/2, yA+yB/2)

M = (4+5/2, 5+2/2)

M = (9/2, 7/2)

O sítio se encontra em S(0,2) e a distância percorrida na estrada que liga S a M é de:

d(S,M) = √[(xM - xS)² + (yM - yS)²]

d(S,M) = √[(9/2 - 0)² + (7/2 - 2)²]

d(S,M) = √[81/4 + 9/4]

d(S,M) = √(90/4) = √9 . √(10/4)

d(S,M) = 3√10/2

A distância percorrida na outra estrada, ou seja, do ponto M ao ponto A (ou B) é:

d(A,M) = √[(xM - xA)² + (yM - yA)²]

d(A,M) = √[(9/2 - 4)² + (7/2 - 5)²]

d(A,M) = √[1/4 + 9/4]

d(A,M) = √(10/4) = √10/2

A distância do sítio as paradas de ônibus é:

d = d(S,M) + d(A,M)

d = 3√10/2 + √10/2

d = 4√10/2

d = 2√10 km

Como 2√10 < 7, Joaquim fechará negócio.

Resposta: A