Question

Joaquim é um jardineiro muito competente e amante de rosas. Ele possui umnúmero de rosas compreendido entre 200 e 400. Juntando-as em grupos de 6,10 ou de 12, sempre restam 4 rosas. Porém, reunindo-as em grupos de 8, nãoresta nenhuma. Pode-se afirmar que o jardineiro Joaquim possui

Answer 1

Se juntando as rosas em grupos de 6, 10 ou 10 sempre restam 4 rosas significa que o número de rosas é 4 unidades maior que um múltiplo do mmc entre 6, 10 e 12. Vamos calcular esse mmc

$6,10,12~|~2$
$3,~5,~~6~|~2$
$3,~5,~~3~|~3$
$1,~5,~~1~|~5$
$1,~1,~~1$

mmc(6, 10, 12) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

Com isso, o número de rosas é da forma $60k+4$, sendo $k$ um natural

Como há entre 200 e 400 rosas, devemos ter $200<60k+4<400$

$60k+4>200~\Longrightarrow~60k>196~\Longrightarrow~k>\dfrac{196}{60}$, ou seja, $k>3$

$60k+4<400~\Longrightarrow~60k<396~\Longrightarrow~k<\dfrac{396}{60}$, isto é $k<7$

Deste modo, $k$ pode ser $4,5$ ou $6$. Por outro lado sabemos que reunindo as rosas em grupos de 8 não resta nenhuma, então o número de rosas é múltiplo de 8.

Para $k=4~\Longrightarrow~60k+4=60\cdot4+4=244$ (não é múltiplo de 8)

Para $k=5~\Longrightarrow~60k+4=60\cdot5+4=304$ (é múltiplo de 8)

Para $k=6~\Longrightarrow~60k+4=60\cdot6+4=364$ (não é múltiplo de 8)

Logo, o jardineiro Joaquim possui 304 rosas.