Question

Joãozinho inventou uma operação matemática com números inteiros, na qual usa o sinal asterisco. Ela funciona assim: a asterisco b é igual a multiplicação da soma de a mais 1 vezes a subtração de b menos 1 Por exemplo, 3 asterisco 5 é igual a multiplicação da soma de 3 mais 1 vezes a subtração de 5 menos 1 é igual a 16. Se a e b são inteiros positivos tais que a asterisco b é igual a 24 e b asterisco a é igual a 30, quanto vale a soma de a mais b? A) 18 B) 16 C) 15 D) 12 E) 11.

Answer 1

Resposta: letra E

Explicação: fiz a OBMEP também

Answer 2

A soma dos valores de: a + b, é igual a: Alternativa e) 11.

Neste caso,  deve-se achar os valores das variáveis "a"e "b" e logo fazer a adição deles. Para isso, pode-se formar um sistema de equações a partir das operação matemática com números inteiros que Joãozinho inventou.

Sabemos que "a" e "b" são inteiros positivos e que:

• a ∗ b = 24
• b ∗ a = 30

 

Então, substituímos esses valores na equação dada e vamos a obter dois novas equações:

• Equação I:

                               $a\; *\; b\; = \;(a\; +\; 1)\;*\; (b\; - \;1)\\\\24 =ab\;-a\;+b\;-1\\\\24+1 =ab\;-a\;+b\\\\\boxed{ab\;-a\;+b = 25} \; \longrightarrow Eq. I$

• Equação II:

                               $b\; *\; a\; = \;(a\; -\; 1)\;*\; (b\;+ \;1)\\\\30 =ab\;+a\;-b\;-1\\\\30 +1 =ab\;-a\;+b\\\\\boxed{ab\;+a\;-b = 31} \; \longrightarrow Eq. II$

Logo, unimos essas duas equações para formar uma e achar o valor de ab:

                                        $+\left \{ {{ab-a+b = 25} \atop {ab+a-b = 31}} \right\\\\--------\\2ab= 56\\\\ab = \frac{56}{2}\\\\\boxed{ab = 28}$

Agora substituímos o valor de ab na equação II para achar o valor a - b:

                                    $ab\;+a\;-b = 31\\\\28\;+a\;-b = 31\\\\a-b = 31-28\\\\\boxed{a-b = 3}$

Finalmente, sabemos que os valores de a e b devem ser dois positivos inteiros que ao serem multiplicados resultem em 28 e sua diferença seja igual a 3, por tanto, esses números são 7 e 4:

                                      $Cond. 1:\; \boxed{7 * 4 = 28}\; \checkmark\\\\Cond. 2:\;\boxed{7 - 3 = 4}}\; \checkmark$

Assim a soma de: a + b será igual a 11:

                                     $a + b = 7 + 4 = \boxed{11}$

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