Question

João Victor lançou o seguinte desafio para o seu Amigo Gabriel : " Os restos das divisões de um número inteiro n por 4 e 9 são, respectivamente, 3 e 5. Ache o resto da divisão de n por 36".

Answer 1

Considere  q₁  e  q₂  os respectivos quocientes da divisão de  n  por  4  e por  9.  Como os restos destas divisões são respectivamente  3  e  5, podemos escrever que

n = 4 · q₁ + 3          (i)

n = 9 · q₂ + 5          (ii)


Multiplicando os dois lados da equação  (i)  por  9, e da equação  (ii)  por  4, obtemos

9n = 36 · q₁ + 27          (iii)

4n = 36 · q₂ + 20          (iv)


A ideia é tentar expressar  n  em termos das duas equações anteriores. Convenientemente, podemos escrever que

n = 9n – 8n

n = 9n – 2 · 4n


Substituindo  9n  e  4n  no lado direito, ficamos com

n = (36 · q₁ + 27) – 2 · (36 · q₂ + 20)

n = 36 · q₁ + 27 – 36 · 2q₂ – 40

n = 36 · q₁ – 36 · 2q₂ – 13          mas  – 13 = – 36 + 23,

n = 36 · q₁ – 36 · 2q₂ – 36 + 23


Colocando  36  em evidência,

n = 36 · (q₁ – 2q₂ – 1) + 23


Chamando  q₁ – 2q₂ – 1 = q  o quociente da divisão de  n  por  36, obtemos

n = 36 · q + 23


Logo, o resto da divisão de  n  por  36  é  23.


Resposta:  23.


Bons estudos! :-)