João tem uma fazenda e cria coelhos. Hoje, João tem 18.000 coelhos e um deles contraiu uma doença chamada CT2. Cada animal que contrai a doença CT2 vive dois dias e, no momento da morte, passa a doença para outros 3 coelhos. Considerando que cada coelho contrai a doença uma única vez, em quanto tempo ela terá levado a óbito metade do número inicial de coelhos?
a) 17 dias
b) 18 dias
c) 32 dias
d) 16 dias
e) 36 dias
Soluções para a tarefa
Resposta:
Letra B. 18 Dias
Explicação passo a passo:
Para a resolução desse problema e para um melhor visualização do mesmo, eu construí uma tabela com 3 colunas, na primeira coluna coloquei o numero de mortes dos coelhos, na segunda quantos dias teriam passados (no caso do nosso problema, seria a cada dos dias haveria mortes), e na terceira coluna, eu enumerei cada um dos eventos em ordem crescente, sempre acrescentando 1. Irei anexar a tabela, para uma melhor interpretação.
Posto isso, é possível interpretar as mortes dos coelhos sendo um progressão geométrica. Pois sempre no evento seguinte ocorre a morte do triplo de coelhos dessa maneira {1, 3, 9, 27, 81, 243, ...}.
O primeiro termo dessa progressão geométrica (P.G) é igual a 1.
a1 = 1
Sua razão de crescimento é dado pela divisão de qualquer termo pelo anterior a ele. Exemplo: 9 : 3 = 3.
Razão (q) = 3
Com esses dados e utilizando a formula de Soma de termos da P.G.
Podemos calcular qual vai a quantidade de termos que somados iram dar a metade do números de coelhos dados inicialmente (18.000 / 2 = 9.000)
Sn = 9.000 (Pois é o valor da soma do numero de mortes que queremos encontrar)
9000 = (1 * (3^{n} - 1)) / (3-1)
9000 = (3^{n} - 1) / 2
9000 * 2 = 3^{n} - 1
18000 + 1 = 3^{n}
3^{n} = 18001
㏒ 3^{n} = ㏒ 18001
n * ㏒ 3 = ㏒ 18001
n * 0,47712 = 4,25529
n = 4,25529/0,47712
n = 8,91869
Porém esse resultando não expressa o numero do dia em que ira ter ocorrido a soma de 9.000 mortes. E sim, só a posição de onde esta o dia, naquela enumeração que eu construí na tabela anexada.
As mortes dos coelhos ocorre a cada dois dias, com isso podemos concluir que essa sequência de numero de mortes, trata de uma progressão aritmética (P.A). {2, 4, 6, 8, 10}. De razão igual a dois.
a1 = 2 "Primeiro termo"
r = 2
Com isso queremos saber qual é o numero que ocupada a posição de 8,91869 ou fazendo uma aproximação a posição 9.
Para fazer esse calculo utiliza o termo geral da P.A.
an = a1 + (n - 1) * r
an = 2 + (9 - 1) * 2
an = 2 + 8 * 2
an = 18 dias
Dessa maneira, podemos concluir, que no decorrer de 18 dias a população de coelhos que inicialmente era de 18.000 passará a sua metade 9.000.
