Question

João, que inicialmente tem uma certa quantia em reais, dá a Pedro tantos reais quantos Pedro possui e a José tantosreais quantos José possui. Depois, Pedro dá a José e a João a respectiva quantia em reais que cada um passou apossuir. Em seguida, José faz a mesma coisa com João e Pedro. Se, no final, todos terminam com 16 reais, comquantos reais João começou?

Answer 1

Digamos que João, Pedro e José possuem A, B e C reais inicialmente.

1) João dá a Pedro tantos reais quanto Pedro possui e a José tantos reais quanto José possui:

João fica com $A-B-C$
Pedro fica com $B+B=2B$
José fica com $C+C=2C$

2) Depois Pedro dá a José e a João a respectiva quantia que cada um passou a possuir

João fica com $A-B-C+A-B-C=2A-2B-2C$
Pedro fica com $2B-(A-B-C)-2C=-A+3B-C$
José $2C+2C=4C$

3) Em seguida José faz a mesma coisa com João e Pedro.

João fica com $2A-2B-2C+2A-2B-2C=4A-4B-4C$
Pedro fica com $-A+3B-C-A+3B-C=-2A+6B-2C$
José fica com $4C-(2A-2B-2C)-(-A+3B-C)=-A-B+7C$

No final todos terminam com 16 reais, logo

$4A-4B-4C=16 \iff A-B-C=4$
$-2A+6B-2C=16 \iff -A+3B-C=8$
$-A-B+7C=16$

Somando as duas primeiras equações, obtemos

$A-B-C-A+3B-C=4+8 \iff 2B-2C=12 \iff B-C=6 \iff B=C+6$

Substituindo

1) $A-B-C=4 \iff A-C-6-C=4 \iff A-2C=10$
3) $-A-C-6+7C=16 \iff -A+6C=22$

Somando as equações, $A-2C-A+6C=10+22 \iff 4C=32 \iff \boxed{C=8}$.

Assim, $B=C+6 \iff B=8+6 \iff \boxed{B=14}$

$A-B-C=4 \iff A-14-8=4 \iff \boxed{A=26}$

João começou com 26 reais.