Question

João pretende jogar na Mega Sena da Virada através de diversas apostas. Assim, ele participa de um bolão com 10 jogos diferentes, com 7 números em cada jogo, dos 60 números disponíveis. Além disso, ele pretende escolher sozinho mais 1 jogo, marcando 9 números. No sorteio da Mega Sena são escolhidos 6 números aleatoriamente de 1 a 60, e o ganhador do maior prêmio é quem acerta esses 6 números. A probabilidade de João ganhar o maior prêmio através do bolão é

Answer 1

Boa tarde!

Uma aposta em uma cartela de 6 números tem 1 chance em 'x' (este valor irei calcular depois).

Se apostar em uma cartela com 7 números ou 9 números, podemos calcular quantas apostas de 6 números serão feitas com estas, através da combinação dos números da cartela. Assim, iremos calcular quantas combinações há em 7 números, tomados em grupos de 6 em 6. E também iremos calcular quantas combinações há em 9 números, tomados de 6 em 6, também.

7 números:

$\binom{7}{6}=\dfrac{7!}{6!(7-6)!}=\dfrac{7.6!}{6!.1!}=7$

9 números:

$\binom{9}{6}=\dfrac{9!}{6!(9-6)!}=\dfrac{9.8.7.6!}{6!.3!}=\dfrac{9.8.7}{3.2.1}=84$

Como o João apostou 10 jogos de 7 números cada mais 1 jogo de 9 números, suas chances são:

$10.7+84=154$ sobre 'x'.

Vamos calcular o valor de 'x' agora.

Como a mega sena tem 60 números, e iremos sortear 6 números dentre estes, o total de combinações possíveis é:

$\binom{60}{6}=\dfrac{60!}{6!(60-6)!}=\dfrac{60.59.58.57.56.55.54!}{6!.54!}\\=\dfrac{60.59.58.57.56.55}{6.5.4.3.2.1}=50\,063\,860$

Então, apostando-se uma cartela de 6 números tem-se a seguinte chance:

$\dfrac{1}{50\,063\,860}$

Como apostamos 10 cartelas de 7 números e 1 de 9, teremos:

$\dfrac{154}{50\,063\,860}=\dfrac{1}{325\,090}$, ou, 1 chance em 325.090 (bem melhor do que uma chance em 50 milhões, né? :)

Obs.: Sabendo-se que uma cartela de 6 números custa R$ 3,50, e tendo-se que 7 números equivalem a 7 apostas e 9 números equivalem a 84 apostas, os valores respectivos para as apostas de 7 e 9 números são: 7x3,50 = R$ 24,50 e 84x3,50 = R$ 294,00, o valor a ser apostado para obter essa probabilidade será de:

10 x R$ 24,50 + 1 x R$ 294,00 = R$ 539,00

Espero ter ajudado!