Question

João pretende dividir 10 doces iguais entre 3
crianças de modo que cada uma delas receba
pelo menos um doce. O número de maneiras di-
ferentes de fazer isso é
a) 72
b) 120
c) 54
d) 21
e) 36

Answer 1

Resposta:

Letra E

Explicação passo-a-passo:

Olha vi 3 jeitos de fazer. Vê ai qual vc acha melhor:

1ºjeito: Fórmula de combinação com repetição:

$\frac{(n+k-1!)}{k!(n-1)!}$

Essa é a fórmula utilizada quando você quer combinar elementos que podem se repetir, por exemplo no caso temos 10 doces (representados pelos 10 espaços a seguir):

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Em cada espaço vc deve colocar uma letra, A, B ou C, representando as crianças. Porém cada uma deve ter pelo menos 1 bala:

A B C _ _ _ _ _ _ _

Observe que é uma combinação de 3 elementos (n=3) em que você pode repeti-los, colocando em 10 espaços (k=7)

Logo, (3+7-1)!/7!(3-1)! = 9!/7!.2! = 9.8/2 = 9.4 = 36 maneiras.

2ºjeito: Anagramas

Pra quem não quer decorar essa fórmula, dá pra fazer por anagramas:

Ainda como já visto, temos 7 espaços e 3 elementos:

_ _ _ _ _ _ _

Podemos criativamente colocar "barras" para determinar as diferentes situações (de quem é o doce). Por exemplo, supondo que, além dos 3 doces já distribuídos, A receba 4 doces, B receba 2 e C receba 1. Logo temos:

_ _ _ _ | _ _ | _

Outro exemplo é se A receber 2, B receber 5 e C não receber nenhum:

_ _ | _ _ _ _ _ |

Enfim, podemos concluir que o total de modos de dividir os doces é a quantidade de anagramas existentes. Sabemos calcular a quantidade de anagramas (se você não sabe sugiro que assista alguns videos no yt que ensinam a calcular anagramas de palavras). Assim:

9!/7!.2! = 9.8/2 = 36 maneiras.

3ºjeito: Contagem inteligente.

Por fim (ufa) podemos contar as diferentes possibilidades de distribuição:

Vamos organizar os diferentes casos em ternas (A,B,C), no qual (4,3,3) significa que A recebeu 4 doces e B e C receberam 3. Perceba que podemos organizar a terna de 3 formas diferentes: (4,3,3), (3,4,3), (3,3,4)

Temos as diferentes possibilidades:

(1,1,8) = 3 ternas distintas derivadas dessa

(1,2,7) = 6 ternas distintas derivadas dessa

(1,3,6) = 6 ternas distintas derivadas dessa

(1,4,5) = 6 ternas distintas derivadas dessa

(2,2,6) = 3 ternas distintas derivadas dessa

(2,3,5) = 6 ternas distintas derivadas dessa

(2,4,4) = 3 ternas distintas derivadas dessa

(3,3,4) = 3 ternas distintas derivadas dessa

Somando tudo: 3 + 6 + 6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 = 36 maneiras.

Deixa o obrigado e avalia ai pfvvv :)