Question

João escreveu todas as potências de 2, 3 e 5 maiores que 1 e menores que 2017 em umafolha de papel. Em seguida, ele realizou todos os produtos possíveis de dois númerosdistintos dessa folha e os escreveu em outra folha de papel. Qual a quantidade de inteirosque João registrou na segunda folha?

Answer 1

bom, sabemos que a maiores potencias nessas bases menores que 2017 são 2^10, 3^6 e 5^4, assim temos como possibilidades 3 conjuntos [2,2^2,...2^10], [3, 3^2,...3^6] e [5,5^2,...,5^4] pelo princípio multiplicativo temos q existem 10.6+10.4+6.4=124 produtos de bases distintas, ai resta saber os de msm base , então sabe-se que temos um conjunto de pontencias de primos [p, p^2..p^k] temos como menor p^3 e o maior é p^2k-1, agr sabemos que pra um expoente x temos que se ele eh par pode ser escrito comp 2n, e impar como 2n+1, ai sabemos q x esta entre 3 e 2k-1 entao n esta entre 1 e k-1, agr faz-se l msm pro x valendo 2k+1(impar) ai temos n entre 0 e k-1, no caso do par basta agr multiplicamsor p^n-1. p^n+1= p^2n=p^x e no caso de ser impar fazemos p^n.p^n+1= p^2n+1=p^x, ai subtrai do de 2k-1 pra saber quantas multiplicaçoes distinstas temos que ficamos com 2k-3, fazendo p valer 2, 3 e 5 temos que fazendo essas contas temos que pra base 2 tem 17, pra base 3 temos 9 e base 5 temos 5, somando 124+17+9+5, temos como resposta 155.