Question

João e Mário pertencem a um grupo de 8 professores. Quantas comissões podem ser formadas com a) Três professores? b) Quatro professores, tendo obrigatoriamente a presença do professor João? c) Cinco professores, com a presença do professor Mário e sem a presença do professor João?

Answer 1

Podem ser formadas: a) 56 comissões com três professores; b) 35 comissões com quatro professores tendo obrigatoriamente a presença do professor João; c) 15 comissões com cinco professores com a presença do professor Mário e sem a presença do professor João.

Como estamos formando comissões, então utilizaremos a fórmula da Combinação:

• $C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

a) Se queremos formar um grupo com três professores, então n = 8 e k = 3.

Substituindo esses valores na fórmula acima, obtemos:

$C(8,3)=\frac{8!}{3!5!}$

C(8,3) = 56.

Logo, podem ser formadas 56 comissões diferentes.

b) Se o professor João obrigatoriamente deve estar no grupo, então precisamos escolher 3 professores entre os 7 restantes, ou seja, n = 7 e k = 3.

Então, podem ser formadas:

$C(7,3)=\frac{7!}{3!4!}$

C(7,3) = 35 comissões diferentes.

c) Se o professor Mário deve estar no grupo e o professor João não, então precisamos escolher 4 professores entre os 6 restantes, ou seja, n = 6 e k = 4.

Portanto, podem ser formadas:

$C(6,4)=\frac{6!}{4!2!}$

C(6,4) = 15 comissões diferentes.