Question

João e Maria estao em uma discussão sobre os números inteiros da forma 5². 6²/d, em que d é um número inteiro positivo. Joao acha que há exatamente 9. Maria discorda dele. Ela estará com razão se afirmar que a quantidade de números dessa forma

Answer 1

Primeiramente, precisamos entender o conceito de fatoração de um número. A fatoração de um número qualquer é:

F = x1^y1 * x2^y2 * x3^y3 * .... * xn^yn

Sendo que a quantidade de divisores positivos é dado por:

(y1 + 1)*(y2 + 1)*(y3 + 1)*...*(yn + 1)

Então, precisamos determinar a fatoração do número 5² * 6²:

5² * 6² = 25 * 36 = 900

900 | 2
450 | 2
225 | 3
75   | 3
25   | 5
5     | 5
1

Logo, a fatoração desse valor é: 2*2*3*3*5*5, ou 2² * 3² * 5².

Então, analisando a fatoração, podemos calcular o número de divisores positivos:

(2+1)*(2+1)*(2+1) = 3 * 3 * 3 = 27

Portanto, existem 27 divisores inteiros positivos para o valor 5²*6².